Question

質量為m的小球懸掛于O點，懸線長為l，如圖建立平面直角坐標系xOy，y軸沿懸線豎直向下．現將小球拉到（l，0）點后無初速釋放，不計空氣阻力和釘子的直徑，試計算：
（1）如果在（0，l）點釘一枚釘子可以擋住細線，那么細線剛碰到釘子后對小球的拉力是多大？
（2）如果將釘子釘在y=

l

2

的水平虛線上某位置，要求細線碰到釘子后能夠繞釘子做圓周運動通過最高點，那么釘子所釘的位置的橫坐標x應該滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求解出最低點速度，然后根據牛頓第二定律列式求解；
（2）碰釘子后的圓周運動的半徑越小越容易滿足條件；根據機械能守恒定律和牛頓第二定律分別列式后聯立求解出臨界半徑．

解答：解：（1）設小球擺到豎直位置時速度大小為v．
由機械能守恒得：mgl=

1

2

mv2；
與釘子碰后：F-mg=m

v2

1 2 r

；
解得：F=5mg；
（2）設小球恰能通過最高點時繞釘子轉動的半徑為r′，在最高點的速度大小為v′
則在最高點，有mg=m

v′2

r′

由機械能守恒：mg（

1

2

l-r′）=

1

2

mv′2
聯立解得：r′=

1

3

l
設釘子橫坐標x₁，根據幾何關系，有：
 

x

2 1

+(

l

2

)2=（l-r′）²，
解得x₁=±

7

6

l
由于釘子必定在以O圓心半徑為l的圓內，設直線y=

1

2

l與該圓的交戰橫坐標為x₂，則有
 

x

2 2

+(

1

2

l)2=l² 
解得x₂=±

3

2

l
所以要使小球夠繞釘子做圓周運動通過最高點，釘子在直線y=

l

2

的橫坐標范圍為：-

3

2

l＜x≤-

7

6

l或

7

6

l≤x＜

3

2

l
答：（1）當釘子在（0，

l

2

）點時，細線剛碰到釘子時的拉力為5mg；
（2）釘子所釘的位置的橫坐標x的范圍為：-

3

2

l＜x≤-

7

6

l或

7

6

l≤x＜

3

2

l．

點評：本題關鍵找出臨界過程，然后根據機械能守恒定律和牛頓第二定律列式后聯立求解，不難．