Question

2013年12月2日凌晨1點30分搭載嫦娥三號的長征三號乙火箭點火升空．嫦娥三號首先由長征三號乙火箭送入近地點200公里、遠地點38萬公里的地月轉移軌道，飛行約5天后，近月制動被月球引力捕獲，進入近月圓軌道半徑為r．12月12日質量為m的嫦娥三號成功軟著陸于月球表面．已知地球質量是月球的a倍，地球半徑是月球半徑的b倍，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g．求：

（1）月球表面的重力加速度g_月；
（2）嫦娥三號進入近月圓軌道后的運行周期；
（3）嫦娥三號著陸月球表面的過程，從距離月球表面高為h₁處以速度V₁開始豎直減速下降，至距離月球表面高為h₂時速度為V₂，然后自由下落至月球表面，試求著陸過程中減速系統對嫦娥三號做的功．

Answer 1

在地球表面：G

M地m

R2

=mg…①
在月球表面：G

M月m

R 2月

=mg_月…②
由①②解得：g_月=g

b2

a

（2）由萬有引力充當向心力知：
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r…③
由②③知T=2π

ar3 gR2

（3）嫦娥三號著陸月球表面的過程，由動能定理知
W+mg_月（h₁-h₂）=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

21

…④
解得：W=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

21

-mg_月（h₁-h₂）=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

21

-mg（h₁-h₂）

b2

a

答：（1）月球表面的重力加速度g_月=g

b2

a

；
（2）嫦娥三號進入近月圓軌道后的運行周期T=2π

ar3 gR2

；
（3）嫦娥三號著陸月球表面的過程，從距離月球表面高為h₁處以速度V₁開始豎直減速下降，至距離月球表面高為h₂時速度為V₂，然后自由下落至月球表面，著陸過程中減速系統對嫦娥三號做的功W=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

21

-mg（h₁-h₂）

b2

a

．