Question

如圖所示，B是質量為m_B、半徑為R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是質為m_A的細長直桿，被固定的光滑套管C約束在豎直方向，A可自由上下運動．碗和桿的質量關系為：m_B=2m_A．初始時，A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸（如圖）．然后從靜止開始釋放A，A、B便開始運動．設A桿的位置用θ 表示，θ 為碗面的球心O至A桿下端與球面接觸點的連線方向和豎直方向之間的夾角．求A與B速度的大小（表示成θ 的函數）．

Answer 1

分析：選A與B組成的系統為研究對象，由于只有重力和相互作用的彈力做功，系統機械能守恒，A的重力勢能的減少量變成系統的動能增加量，由于A被固定在豎直方向，他僅具有豎直方向的速度，同樣B的速度將沿著水平方向，兩者速度之間的關系為：桿相對地面的速度是桿相對碗的速度與碗相對地面的速度的合速度，其中A桿與碗的接觸點在碗面內作半徑為R的圓周運動，速度的方向與圓周相切．

解答：解：由題設條件知，若從地面參考系觀測，則任何時刻，A沿豎直方向運動，設其速度為v_A，B沿水平方向運動，設其速度為v_B，若以B為參考系，從B觀測，則A桿保持在豎直方向，它與碗的接觸點在碗面內作半徑為R的圓周運動，速度的方向與圓周相切，設其速度為V_A．桿相對地面的速度是桿相對碗的速度與碗相對地面的速度的合速度，速度合成的矢量圖如圖中的平行四邊形所示．由圖得V_Asinθ=v_A         （1）
V_Acosθ=v_B         （2）
因而，v_B=v_Acotθ         （3）
選AB組成的系統為研究對象，由能量守恒：
m_AgRcosθ=

1

2

m_A

v

2 A

+

1

2

m_B

v

2 B

（4）
由（3）、（4）兩式及m_B=2m_A得
v_A=sinθ

2gRcosθ 1+(cosθ)2

   （5）
 v_B=cosθ

2gRcosθ 1+(cosθ)2

  （6）
答：兩物體速度為：v_A=sinθ

2gRcosθ 1+(cosθ)2

v_B=cosθ

2gRcosθ 1+(cosθ)2

點評：注意兩物體速度之間的牽連關系是本題的難點，要轉換參考系，利用矢量的合成的法則解決