Question

（2007?南京一模）在光滑絕緣的水平臺面上，存在平行于水平面向右的勻強電場，電場強度為E．水平臺面上放置兩個靜止的小球A和B（均可看作質點），兩小球質量均為m，A球帶電荷量為+Q，B球不帶電，A、B連線與電場線平行．開始時兩球相距L，在電場力作用下，A球開始運動（此時為計時零點，即t=0），后與B球發生對心碰撞，碰撞過程中A、B兩球總動能無損失．設在各次碰撞過程中，A、B兩球間無電量轉移，且不考慮兩球碰撞時間及兩球間的萬有引力．
（1）第一次碰撞結束瞬間A、B兩球的速度各為多大？
（2）分別在甲、乙坐標系中，用實線作出A、B兩球從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中的v-t圖象．要求寫出必要的演算推理過程．
（3）從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中電場力共做了多少功？
（4）若要求A在運動過程中對桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面（v=0時刻除外），可以在水平面內加一與電場正交的磁場．請寫出磁場B_（t）與時間t的函數關系．（不考慮相對論效應）

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律和運動學公式求出A球與B球碰撞前的速度，抓住質量相等小球發生彈性碰撞，速度交換求出碰后小球A、B的速度．
（2）碰撞后A、B兩球交換速度，A球先做勻加速直線運動，碰撞后速度為零，又開始做勻加速直線運動，與B球碰撞后交換速度，以B球的速度做勻加速直線運動．
對于B球，開始靜止，碰撞后交換速度，交換速度后做勻速直線運動．
（3）通過牛頓定律結合運動學公式求出第三次碰撞后A、B的速度，結合能量守恒求出電場力做的功．
（4）抓住重力和洛倫茲力平衡，根據速度的變化，得出洛倫茲力的變化，求出磁感應強度關于時間的通項式．

解答：解：（1）A球的加速度a=

QE

m

                                         
碰前A的速度vA1=

2aL

=

2QEL m

，碰前B的速度v_B1=0．
A、B碰撞后交換速度，設碰后A、B球速度分別為v_A1′、v_B1′
v_A1′=0      vB1′=vA1=

2QEL m

                   
（2）A、B球發生第一次、第二次、第三次的碰撞時刻分別為t₁、t₂、t₃．
則 t1=

vA1-0

a

=

2mL QE

第一次碰后，經t₂-t₁時間A、B兩球發生第二次碰撞，設碰前瞬間A、B兩球速度分別為v_A2和v_B2
vB1′(t2-t1)=

1

2

a(t2-t1)2     得：t₂=3t₁
v_A2=a（t₂-t₁）=2at₁=2v_A1=2

2QEL m

     vB2=vB1′=

2QEL m

 
第二次碰后瞬間，A、B兩球速度分別為v_A2′和v_B2′，經t₃-t₂時間A、B兩球發生第三次碰撞，并設碰前瞬間A、B兩球速度分別為v_A3和v_B3
則 vA2′=vB2=

2QEL m

       vB2′=vA2=2

2QEL m

 
當v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+

1

2

a(t3-t2)2 發生第三次碰撞，易得t₃-t₂=t₂-t₁  
vA3=vA2′+a(t3-t2)=3

2QEL m

      vB3=vB2′=2

2QEL m

（3）由（2）問中所求的物理量，得
W電=(

1

2

mvA32+

1

2

mvB32)-0=13QEL．
（4）對A球由平衡條件得 BQv_A=mg       B=

mg

QvA

且a=

QE

m

．   解得
從A開始運動到發生第一次碰撞 B(i)=

mg

Qat

=

m2g

Q2Et

   0＜t≤

2mL QE

從第一次碰撞到發生第二次碰撞B(i)=

m2g

Q2E(t- 2mL QE )

從第二次碰撞到發生第三次碰撞B(i)=

m2g

Q2E(t-2 2mL QE )

    3

2mL QE

≤t≤5

2mL QE

從第三次碰撞到發生第四次碰撞B(i)=

m2g

Q2E(t-3 2mL QE )

    5

2mL QE

≤t≤7

2mL QE

以此類推，從第n次碰撞到發生第n+1次碰撞
B(i)=

m2g

Q2E(t-n 2mL QE )

(2n-1)

2mL QE

≤t≤(2n+1)

2mL QE

  （n=1，2，3，4…..）
答：（1）第一次碰撞結束瞬間A、B兩球的速度各為0，

2QEL m

．
（2）如圖所示．
（3）從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中電場力共做了13QEL．的功．
（4）磁場B_（t）與時間t的函數關系B(i)=

m2g

Q2E(t-n 2mL QE )

，(2n-1)

2mL QE

≤t≤(2n+1)

2mL QE

（n=1，2，3，4…..）．

點評：解決本題的關鍵知道質量相等的小球發生彈性碰撞，速度交換，以及知道兩球在整個過程中的運動情況，找出規律，結合牛頓第二定律、能量守恒定律和運動學公式進行求解．