Question

（2007?南京一模）在如圖所示的水平導軌（摩擦、電阻忽略不計）處于豎直向下的勻強磁場中，磁場的磁感強度B，導軌左端的間距為L₁=4l₀，右端間距為L₂=4l₀，兩段導軌均足夠長．今在導軌上放置AC、DE兩根導體棒，質量分別為m₁=2m₀，m₂=m₀．電阻分別為R₁=4R₀，R₂=R₀．若AC棒以初速度v₀向右運動，求：
（1）定性描述全過程中AC棒的運動情況
（2）兩棒在達到穩定狀態前加速度之比

a1

a2

是多少？
（3）運動過程中DE棒產生的總焦耳熱Q_DE．

Answer 1

分析：（1）通過分析AC棒的受力情況，來分析其運動情況．AC棒向右運動，回路中產生順時針感應電流，AC棒受安培力的作用后減速運動；DE棒受安培力產生加速度向右運動，回路中磁通量的變化減慢，感應電動勢減小，感應電流逐漸減小，兩棒所受的安培力均減小，最終回路中感應電流為零．不再受安培力，最終都做勻速運動．
（2）根據牛頓第二定律和安培力公式求解加速度之比．
（3）最終兩棒做勻速運動，產生的感應電動勢大小相等，即可求得兩棒速度的關系．運用動量定理，分別對AC棒、DE棒列式，求出穩定時兩棒的速度，再根據能量守恒求熱量．

解答：解：（1）A、C棒向右運動，回路中產生順時針感應電流，AC棒受安培力的作用后減速；DE棒受安培力產生加速度向右運動，回路中磁通量的變化減慢，感應電流逐漸減小，因此兩棒所受的安培力均減小，最終兩棒產生的感應電動勢大小相等，回路中感應電流為零，兩棒不再受安培力，則知AC棒做加速度減小的減速運動，最終勻速運動，
（2）兩棒達到穩定之前AC、DE棒中通過的電流大小始終相等，設加速度分別為a₁和a₂
 根據牛頓第二定律得
 a₁=

F1

m1

=

BIL1

m1

 a₂=

F2

m2

=

BIL2

m2

 又題意 m₁=4m₂  L₁=4L₂   
解得

a1

a2

=

L1m2

L2m1

=

2

1

 　　　                        
（3）兩棒在達到穩定之前，回路中始終存在磁通量的變化，有感應電流就會產生焦耳熱．當兩棒運動速度滿足一定關系時，回路中的磁通量不變，則總電動勢為零，兩棒均做勻速運動，不再產生熱量．設兩棒最終速度分別為v₁、v₂，取向右為正方向．則有
 BL₁v₁=BL₂v₂  得  v₁=

v2

4

根據動量定理得：
 對AC棒：-B

.

I

L₁△t=m₁△v
-∑B

.

I

L₁△t=∑m₁△vt
-B

.

I

L₁△t=m₁v₁-m₁v₀ 　　　　　　　　　　　
同理，對DE棒有：B

.

I

L₂t=m₂v₂-0                    　    
解方程得：v₁=

v0

9

    v₂=

4v0

9

                                  
由于兩棒串聯，產生的焦耳熱之比為

QAC

QDE

=

R1

R2

=

4

1

                                                   
根據能量守恒定律得：Q_DE=

1

5

（

1

2

m1

v

2 0

-

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m2

v

2 2

）=

77

405

m₀v

2 0

   
答：
（1）AC棒做加速度減小的減速運動，最終勻速運動，
（2）兩棒在達到穩定狀態前加速度之比

a1

a2

是

2

1

．
（3）運動過程中DE棒產生的總焦耳熱Q_DE為

77

405

m₀v

2 0

．

點評：本題的解題關鍵是分析兩棒的運動情況，抓住穩定時的條件：兩棒的感應電動勢大小相等，運用動量定理求速度關系．