Question

（18分）如圖在xoy平面內有平行于x軸的兩個足夠大的熒光屏M、N，它們的位置分別滿足y=l和y=0，兩屏之間為真空區域。在坐標原點O有一放射源不斷沿y軸正方向向真空區域內發射帶電粒子，已知帶電粒子有兩種。為探索兩種粒子的具體情況，我們可以在真空區域內控制一個勻強電場和一個勻強磁場，電場的場強為E，方向與x軸平行，磁場的磁感應強度為B，方向垂直于xoy平面。
試驗結果如下：如果讓電場和磁場同時存在，我們發現粒子束完全沒有偏轉，僅在M屏上有一個亮點，其位置在S（ 0 , l ）；如果只讓磁場存在，我們發現僅在N屏上出現了兩個亮點，位置分別為P（ -2l ， 0 ）、Q（ ，0 ），由此我們可以將兩種粒子分別叫做P粒子和Q粒子。已知粒子間的相互作用和粒子重力可以忽略不計，試求（坐標結果只能用l表達）：

（1）如果只讓磁場存在，但將磁場的磁感應強度減為B₁= ，請計算熒光屏上出現的所有亮點的位置坐標；
（2）如果只讓電場存在，請計算熒光屏上出現的所有亮點的位置坐標；
（3）如果只讓磁場存在，當將磁場的磁感應強度變為B₂= kB時，兩種粒子在磁場中運動的時間相等，求k的數值。

Answer 1

（1）P粒子亮點位置（，l ）  Q粒子仍打在N屏上，易得亮點位置（l，0）
（2）（，l）、（-2l，l） （3）

試題分析：（1）當磁場B和電場E同時存在時，兩種粒子都受力平衡，都滿足
Eq=Bqv
所以兩種粒子速度相同都為v=                 ①（2分）
當僅存在磁場時，帶電粒子做勻速圓周運動，洛侖茲力充當向心力，兩種粒子都滿足
得               ②（2分）
當磁場強度為B時，
P粒子的軌道半徑r₁=l，Q粒子軌道半徑為r₂=            ③
由②可知當磁場為B₁減半時，兩粒子做圓周運動的半徑都加倍，此時 r₁′=2l，r₂′=
此時P粒子將打在M屏上，由幾何關系可求出落點橫坐標

所以P粒子亮點位置（，l ）                （1分）
而Q粒子仍打在N屏上，易得亮點位置（l，0）         （1分）

（2）由上問①②③式，可得兩粒子的荷質比及其與E、B的關系，對P、Q分別有
                ④
                ⑤（1分）
當僅存在電場時，P粒子將向右偏，y方向分運動為勻速直線運動
vt=l                     ⑥（1分）
x方向分運動為受電場力下的勻加速直線運動，有
                 ⑦
                ⑧（1分）
結合④⑥⑦可得
               ⑨（1分）
由①④⑨可得
x₁=
同理可以求得Q粒子在-x方向的偏轉位移為
x₂=2l 
故P、Q兩粒子打在屏上的位置坐標分別為（，l）、（-2l，l）。 （2分）
（3）由②和③可以得出結論，不論磁場為多少，P、Q兩粒子的軌道半徑R₁：R₂=4：1不變。因為兩粒子速度大小相等，所以要想兩粒子運動時間相等，即運動弧長相等，兩粒子運動的圓弧圓心角之比必須為θ₁：θ₂=1：4。
如圖粒子打在M屏上時，其運動軌跡圓弧圓心角θ（銳角）與半徑R滿足l=Rsinθ，不可能滿足R₁：R₂=4：1和θ₁：θ₂=1：4。所以兩粒子都打在M屏上不可能滿足要求。    （2分）
兩粒子都打在N屏上，圓心角都為π也不能滿足要求。  （2分）
所以結果必然為P粒子打在M屏而Q粒子打在N屏，所以θ₂=π，而θ₁=。
由幾何關系易得此時R₁=l，結合②③可求得此時
B₂= ，k=   （2分）