Question

土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運動可視為圓周運動．其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心距離分別位r_A=8.0×10⁴km和r _B=1.2×10⁵km．忽略所有巖石顆粒間的相互作用．（結果可用根式表示）
（1）求巖石顆粒A和B的周期之比．
（2）土星探測器上有一物體，在地球上重為10N，推算出它在距土星中心3.2×10⁵km處受到土星的引力為0.38N．已知地球半徑為6.4×10³km，請估算土星質量是地球質量的多少倍？

Answer 1

分析：（1）由萬有引力提供向心力的周期表達式，可以得到AB的周期比值
（2）由地球上萬有引力對終于的引力，和在土星空中受到的引力，兩式聯立可以解得土星與地球質量的關系．

解答：解：（1）由萬有引力提供向心力的周期表達式：
G

Mm

r2

=mr

4π2

T2

解得：
T=

4π2r3 GM

帶入數據解得：

TA

TB

=2

6

：9
（2）設地球質量為M，地球半徑為r₀，地球上物體的重力可視為萬有引力，探測器上物體質量為m₀，在地球表面重力為G₀，
距土星中心r₀′=3.2×10⁵km處的引力為G₀′
根據萬有引力定律：
G0=

GMm0

r02

     
G0′=

GMm0

r0′2

由上述兩式得：

M0

M

=95
答：
（1）求巖石顆粒A和B的周期之比

TA

TB

=2

6

：9
（2）估算土星質量是地球質量的95倍

點評：重點：地球表面，萬有引力可以認為等于重力，雖然兩者由微小差別，但是在天體運行中，我們多是這么樣近似的．