Question

土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運動可視為圓周運動．其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵km．忽略所有巖石顆粒間的相互作用．
（1）求巖石顆粒A和B的線速度之比．
（2）求巖石顆粒A和B的周期之比．
某同學的解答為：因為巖石顆粒在做圓周運動，可知線速度v=ωr．所以

vA

vB

=

rA

rB

，然后根據圓周運動中周期和線速度的關系式求出周期之比．你同意上述解答嗎？若同意請列出主要運算步驟求出結果；若不同意，則說明原因，并求出正確結果．

Answer 1

分析：（1）由萬有引力提供向心力

GM0m

r2

=

mv2

r

即可列式求解；
（2）在上一問的前提下，根據T=

2πr

v

即可求解；

解答：解：這位同學的解答不正確，兩顆衛星的角速度不相同．正確的解法如下：
（1）設土星質量為M₀，顆粒質量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，
根據牛頓第二定律和萬有引力定律：

GM0m

r2

=

mv2

r

解得：v=

GM0 r

對于A、B兩顆粒分別有：vA=

GM0 rA

和vB=

GM0 rB

得：

vA

vB

=

6

2

（2）設顆粒繞土星作圓周運動的周期為T，則：T=

2πr

v

對于A、B兩顆粒分別有：TA=

2πrA

vA

和TB=

2πrB

vB

得：

TA

TB

=

2 6

9

答：這位同學的解答不正確，兩顆衛星的角速度不相同．正確的解法如上所示．

點評：本題是萬有引力定律得簡單應用問題，可列出表達式直接對比求解．