Question

（2006?青浦區模擬）兩顆靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，靠相互吸引力一起以連線上某一點為圓心分別作圓周運動，從而保持兩者之間的距離不變，這樣的天體稱為“雙星’．現測得兩星中心距離為R，運動周期為T，求：雙星的總質量．
解：設雙星的質量分別為M₁、M₂．它們繞其連線上的O點以周期T作勻速圓周運動，由萬有引力定律及牛頓第二定律得：G

M1M2

R2

=M1(

2π

T

)2R，G

M1M2

R2

=M2(

2π

T

)2R聯立解得：M1+M2=

8π2R2

GT2

上述結果是否正確？若正確，請列式證明：若錯誤，請求出正確結果．

Answer 1

分析：雙星以兩者連線上某點為圓心，各自做勻速圓周運動，向心力由對方的萬有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據牛頓第二定律隔離兩個天體分別研究，再求雙星的總質量．雙星之間的距離等于兩個天體的軌道半徑之和．

解答：解：解法錯誤，兩星的轉動半徑不是R，分別為x與（R-x）    
正確的解法為：G

M1M2

R2

=M1(

2π

T

)2x
G

M1M2

R2

=M2(

2π

T

)2(R-x)
聯立解得：M1+M2=

4π2R3

GT2

即雙星的總質量是

4π2R3

GT2

．

點評：本題是雙星問題，與衛星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關鍵抓住條件：周期相同．