Question

如圖所示，一輕質彈簧豎直固定在地面上，上面連接一個質量m₁=1.0kg的物體A，平衡時物體下表面距地面h₁= 40cm，彈簧的彈性勢能E₀=0.50J。在距物體m₁正上方高為h= 45cm處有一個質量m₂=1.0kg的物體B自由下落后，與物體Ａ碰撞并立即以相同的速度運動（兩物體粘連在一起），當彈簧壓縮量最大時，物體距地面的高度h₂=6.55cm。g=10m/s²。

（1）已知彈簧的形變（拉伸或者壓縮）量為x時的彈性勢能，式中k為彈簧的勁度系數。求彈簧不受作用力時的自然長度l₀；
（2）求兩物體做簡諧運動的振幅;
（3）求兩物體運動到最高點時的彈性勢能。

Answer 1

（1）0.50m    （2）23.45cm                （3）6.0×10^-2J

（1）設物體A在彈簧上平衡時彈簧的壓縮量為x₁，彈簧的勁度系數為k
根據力的平衡條件有       m₁g=k x₁
而
解得：k=100N/m， x₁=0.10m
所以，彈簧不受作用力時的自然長度l₀=h₁+x₁=0.50m
（2）兩物體運動過程中，彈簧彈力等于兩物體總重力時具有最大速度，此位置就是兩物體粘合后做簡諧運動的平衡位置
設在平衡位置彈簧的壓縮量為x₂，則 （m₁+ m₂）g=kx₂，解得：x₂=0.20m，
設此時彈簧的長度為l₂，則   l₂=l₀-x₂    ,解得：l₂="0.30m" ,
當彈簧壓縮量最大時，是兩物體振動最大位移處，此時彈簧長度為h₂=6.55cm
兩物體做簡諧運動的振幅A=l₂-h₂ =23.45cm
（3）設物體B自由下落與物體A相碰時的速度為v₁，則   
解得：v₁=3.0m/s，
設A與B碰撞結束瞬間的速度為v₂，根據動量守恒  m₂ v₁=（m₁+ m₂）v₂，
解得：v₂="1.5" m/s，
由簡諧運動的對稱性，兩物體向上運動過程達到最高點時，速度為零，彈簧長度為l₂+A=53.45cm
碰后兩物體和彈簧組成的系統機械能守恒，設兩物體運動到最高點時的彈性勢能E_P，則      
解得E_P＝6.0×10^-2J。