Question

一宇航員抵達一半徑為R的星球表面后，為了測定該星球的質量M，做如下實驗，取一根細線穿過光滑的細直管，細線一端栓一質量為m的砝碼，另一端連在一固定的測力計上，手握細直管掄動砝碼，使它在豎直平面內做完整的圓周運動．停止掄動細直管，砝碼可繼續在同一豎直平面做完整的圓周運動．如圖所示，觀察測力計得到，當砝碼運動到圓周的最低點和最高點兩位置時，測力計的讀數差為△F，已知引力常量為G，試根據題中提供的條件和測量結果，求出該星球的質量M．

Answer 1

分析：在最高點和最低點分別對小球進行受力分析，找出向心力來源；再根據小球在擺動過程中機械能守恒可求出重力加速度；再由在星球表面，萬有引力等于重力，就可解出星球的質量．

解答：解：砝碼在最高點細線的拉力為F₁，速度為v₁，則：F1+mg=m

v 2 1

r

           ①
砝碼在最低點細線的拉力為F₂，速度為v₂，則：F2-mg=m

v 2 2

r

              ②
由機械能守恒定律得：mg2r+

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 2

                             ③
由①、②、③解得：g=

F2-F1

6m

=

△F

6m

               ④
在星球表面，萬有引力等于重力，G

Mm′

R2

=m′g    ⑤
由④、⑤解得：M=

△FR2

6mG

；
故星球質量為M=

△FR2

6mG

．

點評：本題是向心力公式，萬有引力公式，機械能守恒定律的綜合運用問題；要注意對小球受力分析，找出向心力來源，其中在最低點，合力為拉力減去重力；由于繩子拉力不做功，機械能守恒；根據重力加速度可求解星球的質量．