Question

一宇航員抵達一半徑為R的星球表面后，為了測定該星球的質量M，做如下實驗，取一根細線穿過光滑的細直管，細線一端栓一質量為m的砝碼，另一端連在一固定的測力計上，手握細直管掄動砝碼，使它在豎直平面內做完整的圓周運動．停止掄動細直管，砝碼可繼續在同一豎直平面做完整的圓周運動．如圖所示，觀察測力計得到，當砝碼運動到圓周的最低點時，測力計的讀數為F₁；當砝碼運動到圓周的最高點時，測力計的讀數為F₂．已知引力常量為G，試根據題中提供的條件和測量結果，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的質量M；
（3）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）對砝碼受力分析，在最高點和最低點時，由向心力的公式和整個過程的機械能守恒可以求得重力加速度的大��；
（2）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，可以求得星球的質量；
（3）根據重力作為向心力，由向心力的公式可以求得星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）設砝碼在最高點時細線的拉力為F₁，速度為v₁，則
  F₁+mg=m

V 2 1

R

     ①
設砝碼在最低點細線的拉力為F₂，速度為v₂，則
  F₂-mg=m

V 2 2

R

       ②
由機械能守恒定律得
  mg2r+

1

2

mV₁²=

1

2

mV₂²  ③
由①、②、③解得
  g=

F2-F1

6m

    ④
（2）在星球表面，萬有引力近似等于重力
  G

Mm′

R2

=m′g      ⑤
由④、⑤解得
  M=

(F2-F1)R2

6mG

 
（3）由mg=m

V2

R

，
得 V=

gR

=

(F2-F1)R  6m

，
答：（1）該星球表面的重力加速度是

F2-F1

6m

；
（2）該星球的質量M是

(F2-F1)R2

6mG

；
（3）該星球的第一宇宙速度是

(F2-F1)R  6m

．

點評：根據砝碼做圓周運動時在最高點和最低點的運動規律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運動時，物體的重力就作為做圓周運動的向心力．