Question

如圖所示，一矩形框架與水平面成37°角，寬L=0.4m，上、下兩端各有一個電阻R₀=1Ω，框架的其他部分電阻不計，框架足夠長，垂直于框平面的方向存在向上的勻強磁場，磁感應強度B=2T．ab為金屬桿，其長度也為L=0.4m，質量m=0.8Kg，電阻r=0.5Ω桿與框架的動摩擦因數μ=0.5，由靜止開始下滑，直到速度達到最大的過程中，上端電阻R₀產生的熱量Q₀=0.375J．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；g取10m/s²）求：
（1）桿ab的最大速度；
（2）從開始到速度最大的過程中ab桿沿斜面下滑的距離；
（3）在該過程中通過ab的電荷量．

Answer 1

分析：（1）導體棒先向下做加速度減小的加速運動，后做勻速運動，達到最大速度，此時棒ab受力平衡，推導出安培力與速度的關系式，寫出受力平衡的方程，即可求得最大速度；
（2）由電阻R₀產生的熱量Q₀，根據串并聯關系，得到ab棒產生的熱量，根據能量的轉化與守恒解答該題；
（3）結合法拉第電磁感應定律與閉合電路的歐姆定律，求解通過ab的電荷量．

解答：解：（1）導體棒受到的摩擦力：f=?N，又N=mgcosθ，得f=?mgcosθ．
達到最大速度時，棒ab受力平衡，則有：F_A+f=mgsinθ
而安培力：F_A=BIL，I=

E

R總

=

BLv

0.5R0+r

聯解可得：

mg(0.5R0+r)(sinθ-μcosθ)

B2L2

代入解得 υ=2.5m/s
（2）當金屬棒速度達到最大時，電阻R₀產生的熱量Q₀=0.375J，ab棒中電流是電阻R₀中電流的2 倍，由焦耳定律Q=I²Rt，ab棒中產生的焦耳熱為2Q₀，則電路中產生的總焦耳Q_總=4Q                                         
根據能量守恒得 mgsinθS=Q+

1

2

mv2+fS
得：S=

0.5mv2+Q總

mg(sinθ-μcosθ)

=2.5m            
（3）流過導體棒的電量：q=

.

I

△t
  又

.

I

=

. E

R總

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLS
聯立以上四式得：q=

BLS

R總

代入解得，q=2C
答：
（1）桿ab的最大速度是2.5m/s；
（2）從開始到速度最大的過程中ab桿沿斜面下滑的距離是2.5m；
（3）在該過程中通過ab的電荷量是2C．

點評：該題是電磁感應的綜合應用，涉及到受力平衡、法拉第電磁感應定律、閉合電路的歐姆定律以及能量的轉化與守恒，綜合性相對較強，要求的能力也比較高．