Question

（2012?鹽城三模）如圖所示，有一個可視為質點的質量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺上的A點以v₀=3m/s的初速度水平拋出，到達C點時，恰好沿C點的切線方向進入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點的質量為M=3kg的長木板．已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動摩擦因數μ=0.3，
圓弧軌道的半徑為R=0.5m，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計空氣阻力，取重力加速度為g=10m/s²．求：
（1）AC兩點的高度差；
（2）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板的最小長度．（sin53°=0.8，cos53°=0.6）

Answer 1

分析：（1）小球從A點拋出做平拋運動，將C點的速度進行分解，求出豎直分速度的大小，從而根據豎直方向上的運動規律求出AC兩點的高度差．
（2）求出C點的速度，對C到D運用動能定理求出到達D點的速度，根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對軌道的壓力．
（3）當小物塊剛好不從長木板滑出時，與木板具有相同的速度，根據牛頓第二定律和運動學公式求出共同的速度，因為摩擦力與相對路程的乘積等于產生的熱量，結合能量守恒定律求出木板的長度．

解答：解：（1）小物塊在C點速度大小為：v_C=

v0

cos53°

=5 m/s，
豎直分量：v_Cy=4 m/s 
下落高度：h=

vcy2

2g

=0.8m  
（2）小物塊由C到D的過程中，由動能定理得：
mgR（1-cos 53°）=

1

2

mvD2-

1

2

mvC2
解得：v_D=

29

m/s
小球在D點時由牛頓第二定律得：F_N-mg=m

vD2

R

代入數據解得：F_N=68N  
由牛頓第三定律得F_N′=F_N=68N，方向豎直向下
（3）設小物塊剛滑到木板左端達到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過程中，小物塊與長木板的加速度大小分別為：
a₁=μg=3 m/s²，a₂=

μmg

M

=1 m/s²
速度分別為：v=v_D-a₁t，v=a₂t  
對物塊和木板系統，由能量守恒定律得：
μmgL=

1

2

mv_D²-

1

2

（m+M） v² 
解得：L=3.625 m，即木板的長度至少是3.625 m
答：（1）AC兩點的高度差為0.8m．
（2）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力為68N．
（3）木板的最小長度為3.625m．

點評：本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律等知識，綜合性較強，關鍵理清物塊的運動過程，選擇合適的規律進行求解．