Question

如圖所示，豎直平面內的3/4圓弧形光滑軌道半徑為R，A端與圓心O等高，AD為水平面，B點在O的正上方，一個小球在A點正上方由靜止釋放，自由下落至A點進入圓軌道并恰能到達B點．
求：（1）落點C與A點的水平距離．
（2）小球落到C點的速度．

Answer 1

分析：（1）小球恰能到達B點，知小球到達B點時對軌道的壓力為0，重力提供向心力，mg=m

vB2

R

求出B點的速度，從釋放點到B點運用動能定理，根據動能定理求出釋放點距離A點的高度．
（2）小球離開B點做平拋運動，根據平拋運動的規律計算落地時速度的大小和方向．

解答：解：（1）小球恰能到達B點，知小球到達B點時對軌道的壓力為0，重力提供向心力，
mg=m

vB2

R

①
從釋放點到B點運用動能定理得：
mg（h-R）=

1

2

mvB2②
由①②解得：h=

3

2

R
v_B=

gR

小球離開B點做平拋運動，
根據R=

1

2

gt2
得：t=

2R g

所以落點C與A點的水平距離x=v_Bt-OA=(

2

-1)R
（2）小球落到C點時，豎直方向的速度大小為v_y=gt=

2gR

，
小球落到C點合速度的大小為v=

v 2 B + v 2 y

=

3gR

，
與水平方向的夾角θ的正切值為tanθ=

vy

vB

=

3

答：（1）落點C與A點的水平距離為(

2

-1)R．
（2）小球落到C點的速度大小為

3gR

，與水平方向的夾角θ的正切值為

3

．

點評：解決本題的關鍵知道球到達C點時對軌道的壓力為0，有mg=m

vB2

R

，以及能夠熟練運用動能定理．