Question

如圖所示，三個同心圓是磁場的理想邊界，圓1半徑R₁=R、圓2半徑R₂=3R、圓3半徑R₃（R₃＞R₂）大小未定，圓1內部區域磁感應強度為B，圓1與圓2之間的環形區域是無場區，圓2與圓3之間的環形區域磁感應強度也為B。兩個區域磁場方向均垂直于紙面向里。t=0時一個質量為m，帶電量為+q（q＞0）的離子（不計重力），從圓1上的A點沿半徑方向以速度飛進圓1內部磁場。問：

（1）離子經多長時間第一次飛出圓1？
（2）離子飛不出環形磁場圓3邊界，則圓3半徑R₃至少為多大？
（3）在滿足了（2）小題的條件后，離子自A點射出后會在兩個磁場不斷地飛進飛出，從t=0開始到離子第二次回到A點，離子運動的總時間為多少？
（4）在同樣滿足了（2）小題的條件后，若環形磁場方向為垂直于紙面向外，其它條件不變，從t=0開始到離子第一次回到A點，離子運動的路徑總長為多少？

Answer 1

（1）  （2）   （3）

試題分析：（1）由可得   （2分）
如右圖1，根據幾何知識：

離子在圓1中運動圓弧對應的圓心角為60°
得：  （2分）
（2）依題意離子在環形磁場軌跡與圓3相切時對應的就是半徑最小值，如右圖2：

由于兩磁場的磁感應強度相同，有：  （2分）
由圖中幾何關系得： （2分）
得： （2分）
（3）根據幾何知識：
離子在圓2和圓3之間的運動圓弧對應的圓心角為240°
得：（2分）
在原圖中作圖可知如下左圖：
（只畫了重復單程，這樣的單程重復總共需6次）
從t=0開始到離子第二次回到A點，離子在圓1內磁場中運動共6次；
離子在環形磁場中運動共6次；離子在無場區中直線運動共12次。（2分）
在無場區離子直線單程的時間 （2分）
總時間 （2分）
（4）在原圖中作圖可知如下右圖：
（只畫了重復單程，這樣的單程重復總共需2次）
從t=0開始到離子第一次回到A點，離子在圓1內磁場中運動共2次；
離子在環形磁場中運動共2次；離子在無場區中直線運動共4次。（2分）
路徑總長 （2分）