Question

【題目】利用電場和磁場，可以將比荷不同的離子分開，這種方法在化學分析和原子核技術等領域有重要的應用．如圖所示的矩形區域ACDG（AC邊足夠長）中存在垂直于紙面的勻強磁場，A處有一狹縫．離子源產生的離子，經靜電場加速后穿過狹縫沿垂直于GA邊且垂直于磁場的方向射入磁場，一段時間后運動到GA邊，被相應的收集器收集．整個裝置內部為真空．已知被加速的兩種正離子的質量分別是m1和m2（m1＞m2），電荷量均為q．加速電場的電勢差為U，離子進入電場時的初速度可以忽略．不計重力，也不考慮離子間的相互作用．

（1）若忽略狹縫的寬度，當磁感應強度的大小為 B 時，求兩種離子在 GA 邊落點的間距 x；

（2）若狹縫寬度不能忽略，狹縫過寬可能使兩束離子在 GA 邊上的落點區域交疊，導致兩種離子無法完全分離．設磁感應強度大小可調，GA 邊長為定值 L，狹縫寬度為 d，狹縫右邊緣在 A 處．離子可以從狹縫各處射入磁場，入射方向仍垂直于 GA 邊且垂直于磁場．為保證上述兩種離子能落在 GA 邊上并被完全分離，求狹縫的最大寬度．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)離子在勻強磁場中將做勻速圓周運動，此時向心力提供洛倫茲力，由帶電離子在磁場中運動的半徑公式可分別求出質量為m1、m2的粒子的軌跡半徑，兩個軌跡的直徑之差就是離子在GA邊落點的間距。(2)由題意畫出草圖，通過圖找出兩個軌跡因寬度為d狹縫的影響，從而應用幾何知識找出各量的關系，列式求解。

（1）由動能定理得

解得

①

由牛頓第二定律

如圖所示

利用①式得離子在磁場中的軌道半徑為別為

，②

兩種離子在GA上落點的間距

③

( 2)質量為m1的離子，在GA邊上的落點都在其入射點左側2R1處，由于狹縫的寬度為d ，因此落點區域的寬度也是d。同理，質量為m2的離子在GA邊上落點區域的寬度也是d。如圖

為保證兩種離子能完全分離，兩個區域應無交疊，條件為

④

利用②式帶入④得

R1的最大值滿足

得

求最大值