Question

【題目】如圖所示，水平地面和半圓軌道面均光滑，質量M＝1kg的小車靜止在地面上，小車上表面與R=0．24m的半圓軌道最低點P的切線相平。現有一質量m＝2kg的滑塊（可視為質點）以v0=6m/s的初速度滑上小車左端，二者共速時的速度為v1=4m/s，此時小車還未與墻壁碰撞，當小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上。在半圓軌道的最高點Q有一個滑塊收集器（圖中未畫出），滑塊滑到此處時被俘獲固定在軌道的Q點上。已知滑塊與小車表面的滑動摩擦因數μ＝0．2，g取10m/s2，求：

（1）小車的最小長度；

（2）小車的長度L在什么范圍，滑塊不脫離軌道？

Answer 1

【答案】（1）3m (2) 3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m

【解析】

（1）滑塊在小車滑行過程，系統所受的合外力為零，動量守恒，可求出共同速度．小車的長度與系統產生的內能有關．當兩者速度相同滑塊剛好滑到小車的右端時，小車的長度最短，根據能量守恒求解最小長度；（2）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點離開軌道，也可能滑到T點，根據動能定理結合上題的結果可求出L的范圍．

（1）設小車的最小長度為L1，由能量守恒定律得：

解得：

（2）若m恰能滑過圓弧的最高點Q，由牛頓第二定律得：

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，運動到最高點Q，在這個過程對滑塊由動能定理：

聯立解得：

所以小車長度：

則滑塊要想運動到Q點，小車的長度L必須滿足：3m≤L≤4m

若滑塊恰好滑至圓弧到達T點時速度為0，則滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，運動到T點，在這個過程對滑塊由動能定理：

解得：

所以小車長度：，小車的長度L必須滿足：L≥5.8m；

當L=7m時滑塊恰好在P點停止，故L不能大于7m，否則滑塊不能到達P點，
因此長度的范圍為，5.8m≤L≤7m，

綜上分析可知小車的長度L范圍是：3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m時滑塊不脫離軌道．