Question

如圖甲所示，真空中兩水平放置的平行金屬板C、D，上面分別開有正對的小孔O₁、O₂，金屬板C、D接在正弦交流電源上，兩板C、D間的電壓Ucd隨時間t變化的圖象如圖乙所示，t=0時刻開始，從小孔O₁處不斷飄入質量 m=3.2×10^-25kg、電荷量q=1.6×10^-19 c的帶正電的粒子（設飄入速度很小，可視為零），在D板外側有以MN為邊界的勻強磁場，與金屬板相距d=10cm，勻強磁場的磁感應強度大小B=0.1T，方向如圖甲所示，粒子的重力及粒子之間的相互作用力不計．平行金屬板C、D之間的距離足夠小，粒子在兩板間的運動時間可以忽略不計，求：

（1）帶電粒子經小孔O₂進入磁場后能飛出磁場邊界的最小速度為多大？?
（2）從0到0.04末的時間內，哪些時刻飄入小孔O₁的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界？?
（3）磁場邊界有粒子射出的長度范圍．（保留一位有效數字）

Answer 1

分析：（1）粒子在兩板間的運動時間可忽略不計，可認為粒子通過電場的過程中認為板間電壓不變．粒子在磁場做勻速圓周運動，軌跡與邊界MN相切時，粒子恰好飛出MN，對應的速度最小．根據牛頓第二定律可求出最小速度．
（2）根據粒子能飛出磁場的最小速度，對粒子在電場中加速過程運用動能定理求出電壓，分析電壓圖象，確定時間范圍．
（3）當加速電壓最大時，粒子在電場中獲得的速度最大，進入磁場中圓周運動的半徑最大，根據牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何知識得到粒子飛出磁場相對小孔向左偏移的最小距離，即可得到磁場邊界有粒子射出的長度范圍．

解答：解：（1）設帶電粒子進入磁場后能飛出磁場邊界的最小速度為V₀．
粒子在磁場做勻速圓周運動，軌跡與邊界MN相切時，粒子恰好飛出MN，對應的速度最小．由幾何知識得到此時軌跡半徑為R=d
根據牛頓第二定律得：qV₀B=

m V  2 0

R

∴V₀=5×10³ m/s?
（2）設恰能飛出磁場邊界MN的粒子在電場中運動時板D、C間對應電壓為U₀，對于電場加速過程，根據動能定理得：
  qU₀=

1

2

mv²
得 U₀=25 V
由圖象可知，25 V電壓對應的時刻分別為

1

300

秒和

1

60

秒，故粒子能飛出磁場邊界的時間為：

1

300

秒-

1

60

秒．
（3）設粒子的最大速度v_m?
則  qν_m=

1

2

mv_m²
又qν_mB=m

v 2 m

Rm

?
粒子飛出磁場相對小孔向左偏移的最小距離為x?
  x=R_m-

R 2 m -d2

=0.04m
∴磁場邊界有粒子射出的長度范圍為△x=d-x=0.06m
答：
（1）帶電粒子經小孔O₂進入磁場后能飛出磁場邊界的最小速度為5×10³ m/s．?
（2）從0到0.04末的時間內，

1

300

秒-

1

60

秒時刻飄入小孔O₁的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界．
（3）磁場邊界有粒子射出的長度范圍為0.06m．

點評：粒子在磁場中圓周運動問題處理的基本方法是畫軌跡，往往從分析邊界情況，得到臨界速度．常常用到幾何和三角知識求解半徑．