Question

一飛船在某星球表面附近，受星球引力作用而繞其做勻速圓周運動的速率為v₁；飛船在離該星球表面高度為h處，受星球引力作用而繞其做勻速圓周運動的速率為v₂．已知萬有引力恒量為G．試求
（1）該星球的質量
（2）若設該星球的質量為M，一個質量為m的物體在離該星球球心r遠處具有的引力勢能為E_Pr=-

GMm

r

，則一顆質量為m₁的衛星由r₁軌道變為r₂（r₁＜r₂）軌道，對衛星至少做多少功？（衛星在r₁、r₂軌道上均做勻速圓周運動，結果請用M、m₁、r₁、r₂、G表示）

Answer 1

分析：（1）由兩個軌道上的運動速度，可以列兩次萬有引力充當向心力的表達式，聯立可以解得星球質量
（2）已知衛星引力勢能的表達式，又由圓周運動可得動能表達式，兩者相加為該軌道上的機械能，則兩個軌道機械能之差就是需要對衛星做的功

解答：解：
（1）由萬有引力提供向心力的速度表達式：

GMm

r2

=m

v2

r

，
可知在星球表面時：

GMm

R2

=m

v12

R

，
在高空h處：

GMm

(R+h)2

=m

v22

R+h

，
聯立解得：M=

hv12v22

G(v12-v22)

（2）由

GMm

r2

=m

v2

r

得軌道半徑為r時的動能為：Ek=

GMm

2r

，
又引力勢能為：E_P=-

GMm

r

，
衛星在該軌道上的機械能為：E=Ek+Ep=-

GMm

2r

，
則變軌需要對衛星做的功為衛星機械能的增加量，
即：W=E2-E1=E=-

GMm

2r2

+

GMm

2r1

=

1

2

GMm

r2-r1

r1r2

答：（1）星球的質量為：M=

hv12v22

G(v12-v22)

（2）變軌需要對衛星做的功為：W=

1

2

GMm

r2-r1

r1r2

點評：本題重點是要利用好給定的引力勢能，知道變軌做的功應等于衛星在兩個軌道上的機械能的差值．