Question

為了測量某一被新發現的行星的半徑和質量，一艘宇宙飛船飛近它的表面進行實驗．飛船在引力作用下進入該行星表面附近的圓形軌道，在繞行中做了第一次測量．繞行數圈后，經制動后著陸在該行星上，并進行了第二次測量．依據測量的數據，就可以求出該星球的半徑和星球的質量．已知萬有引力恒量為G．飛船上備有以下實驗器材：
A．一個精確計時裝置B．一個已知質量為m的物體
C．一個彈簧秤D．一臺天平（附砝碼）
請根據題意回答以下問題：
a．第一次測量所選用的實驗器材為

A

，測量的物理量是

飛船在行星表面運動的n圈的總時間t

．
b．第二次測量所選用的實驗器材為

C

，測量的物理量是

物體m在該星球表面上受到的重力F

．
c．行星的半徑R=

R=

Ft2

4n2π2m

、質量m=

M=

F3t4

16n4π4m3G

．（用已知量和測出的物理量表示．）

Answer 1

分析：根據近地飛行時圍繞半徑近似等于星體半徑，由萬有引力充當向心力及M=

4

3

πR3ρ知ρ=

3π

GT2

，進而知道需要的儀器和需要測量的物理量；再有GM=gR²知第二次需要的儀器和測量的物理量；最后結合各種關系式進行求解．

解答：解：要求出該星球的半徑和星球的質量，需要知道星體的密度，若近表面飛行，則圍繞半徑近似等于星體半徑，由ρ=

3π

GT2

知需要用到計時裝置測量飛船在行星表面運動的n圈的總時間周期t，T=nt①．
（2）由第一次測量知道了密度，要求質量和半徑，還需要知道半徑和質量的關系，由GM=gR²知飛船著陸在該行星上，進行第二次測量需要彈簧秤，測量物體m在該星球表面上受到的重力F．
由F=mg②
GM=gR²③
M=

4

3

πR3ρ④
ρ=

3π

GT2

⑤
由①②③④⑤解得
R=

Ft2

4n2π2m

；M=

F3t4

16n4π4m3G

故答案為：A，飛船在行星表面運動的n圈的總時間t；  C，物體m在該星球表面上受到的重力F；
R=

Ft2

4n2π2m

、M=

F3t4

16n4π4m3G

．

點評：此題難度稍大，需要綜合考慮萬有引力定律應用的兩個關系式，并結合密度公式進行解答．