Question

（供選學物理1-1的考生做）（8分）如圖所示，位于豎直平面內的光滑軌道，由一段傾斜直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。
（1）若質量為m的小物塊（可視為質點）從傾斜直軌道上距圓軌道最低點高為R處由靜止開始下滑，求其滑到圓軌道最低點時的速度大小及所受軌道的支持力大小。
（2）若質量為m的小物塊（可視為質點）從傾斜直軌道上距圓軌道最低點高為R處開始以一定的初速度沿傾斜直軌道下滑，要求小物塊能通過圓形軌道最高點，且在最高點與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度），試分析小物塊的初速度應滿足什么條件。

Answer 1

（1）F_N1=3mg（2）≤v≤

1）設小物塊運動至圓軌道最低點時的速度為v₁，所受軌道的支持力為F_N1，根據機械能守恒定律，對于小物塊從開始下滑至軌道最低點的過程有
mgR=mv₁²，解得v₁=…………………………………………………………（2分）
根據牛頓第二定律，對于小物塊在圓軌道最低點有 
F_N1-mg=mv₁²/R，解得F_N1=3mg…………………………………………………………（2分）
（2）設小物塊恰能通過圓軌道最高點的速度大小為v₂，軌道對小物塊的壓力F_N2=5mg時的速度大小為v₃，根據牛頓第二定律，對于小物塊在最高點的兩種情況分別有
mg=mv₂²/R， F_N2+mg=mv₃²/R ……………………………………………………（2分）
解得v₂²=gR，v₃²=6gR
設對應上述兩種情況下，小物塊的初速度分別為v₂₀和v₃₀，對于小物塊從開始沿斜軌道下滑到運動至軌道最高點的過程，根據機械能守恒定律分別有
mv₂₀²=mgR+mv₂²，  mv₃₀²=mgR+mv₃²
解得v₂₀=，v₃₀=
即小物塊的初速度應滿足≤v≤ …………………………………………（2分）