Question

【題目】物體沿著圓周的運動是一種常見的運動，勻速圓周運動是當(dāng)中最簡單也是較基本的一種，由于做勻速圓周運動的物體的速度方向時刻在變化，因而勻速周運動仍舊是一種變速運動，具有加速度。

(1)可按如下模型來研究做勻速圓周運動的物體的加速度：設(shè)質(zhì)點沿半徑為r、圓心為O的圓周以恒定大小的速度v運動，某時刻質(zhì)點位于位置A。經(jīng)極短時間后運動到位置B，如圖所示，試根據(jù)加速度的定義，推導(dǎo)質(zhì)點在位置A時的加速度的大小；

(2)在研究勻變速直線運動的“位移”時，我們常舊“以恒代變"的思想；在研究曲線運動的“瞬時速度”時，又常用“化曲為直”的思想，而在研究一般的曲線運動時我們用的更多的是一種”化曲為圓”的思想，即對于般的曲線運動，盡管曲線各個位置的彎曲程度不詳，但在研究時，可以將曲線分割為許多很短的小段，質(zhì)點在每小段的運動都可以看做半徑為某個合適值的圓周運動的部分，進而采用圓周運動的分析方法來進行研究，叫做曲率半徑，如圖所示，試據(jù)此分析圖所示的斜拋運動中。軌跡最高點處的曲率半徑；

(3)事實上，對于涉及曲線運動加速度問題的研究中，“化曲為圓”并不是唯的方式，我們還可以采用一種“化圓為拋物線”的思考方式，勻速圓周運動在短時間內(nèi)可以看成切線方向的勻速運動，法線方向的勻變速運動，設(shè)圓弧半徑為R，質(zhì)點做勻速圓周運動的速度大小為v，據(jù)此推導(dǎo)質(zhì)點在做勻速圓周運動時的向心加速度a。

Answer 1

【答案】(1)或；(2)；(3)

【解析】

(1)當(dāng)足夠小時，、的夾角就足夠小，角所對的弦和弧的長度就近似相等。因此，

在時間內(nèi)，所對方向變化的角度為

聯(lián)立可得

代入加速度定義式，以及把代入，可得向心加速度大小的表達式為

上式也可以寫為

(2)在斜拋運動最高點，質(zhì)點的速度為

可以把質(zhì)點的運動看成是半徑為的圓周運動，因為質(zhì)點只受重力，所以根據(jù)牛頓第二定律可得

聯(lián)立可得

(3)質(zhì)點在短時間內(nèi)將從A以速度v勻速運動到，則

，

由圖可知

聯(lián)立解得

若足夠小，即

所以