Question

如圖所示，有一半徑為R₁=1m的圓形磁場區域，圓心為O，另有一外半徑為R₂=m、內半徑為R₁的同心環形磁場區域，磁感應強度大小均為B=0.5T，方向相反，均垂直于紙面，一帶正電粒子從平行極板下板P點靜止釋放，經加速后通過上板小孔Q，垂直進入環形磁場區域，已知點P、Q、O在同一豎直線上，上極板與環形磁場外邊界相切，粒子比荷q/m=4×10⁷C/kg，不計粒子的重力，且不考慮粒子的相對論效應，求：
（1）若加速電壓U₁＝1.25×10²V，則粒子剛進入環形磁場時的速度多大？
（2）要使粒子不能進入中間的圓形磁場區域，加速電壓U₂應滿足什么條件？
（3）若改變加速電壓大小，可使粒子進入圓形磁場區域，且能水平通過圓心O，最后返回到出發點，則粒子從Q孔進入磁場到第一次經過O點所用的時間為多少？

Answer 1

⑴m/s…（2）（3）t≈1.83×10^-7s…

⑴（4分）粒子在勻強電場中，由動能定理得：
 ……………①……（2分）
解得：m/s……………②……（2分）
⑵（8分）粒子剛好不進入中間圓形磁場的軌跡如圖所示，在RtΔQOO₁中有：
.……....③（2分）
解得r₁=1m…  …④………（1分）
由… …⑤………（1分）
得    
又由動能定理得：
......…⑥………（2分）
由以上④⑤⑥聯立得
V……⑦……（1分）
所以加速電壓U₂滿足條件是
V………⑧…（1分）
⑶（7分）
粒子的運動軌跡如圖所示，由于 OO­₃Q共線且豎直，又由于粒子在兩磁場中的半徑相同，有：O₂O₃=2O₂Q=2r₂
由幾何關系得∠AO­₂O₃=60⁰，故粒子從Q孔進入磁場到第一次經過圓心O所用的時間
t=(T+T)= T…………⑨………（3分）
又………⑩      ………（2分）
由⑨⑩得t≈1.83×10^-7s…………⑾………（2分）

本題考查帶電粒子在磁場中的運動，加速后的速度可根據動能定理得出_，解出加速后的速度。粒子剛好不進入中間圓形磁場的軌跡如圖所示，根據幾何知識可解出運動半徑，結合動能定理，可得出加速電壓。粒子的運動軌跡如圖所示，由于 OO­₃Q共線且豎直，又由于粒子在兩磁場中的半徑相同，有：O₂O₃=2O₂Q=2r_2，由幾何關系得∠AO­₂O₃=60⁰，可解出粒子從Q孔進入磁場到第一次經過圓心O所用的時間，然后根據公式算出周期，即可求出時間。