Question

（2005?廣州模擬）如圖所示，兩個質量均為4m的小球A和B由輕彈簧連接，置于光滑水平面上．一顆質量為m子彈，以水平速度v₀射入A球，并在極短時間內嵌在其中．求：在運動過程中
（1）什么時候彈簧的彈性勢能最大，最大值是多少？
（2）A球的最小速度和B球的最大速度．

Answer 1

分析：（1）子彈擊中A球的過程中，動量守恒，由動量守恒定律求出A球的速度，當AB兩球速度相等，彈簧壓縮量最大時，彈簧彈性勢能最大，由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出彈簧彈性勢能的最大值．
（2）當彈簧伸長量最大時，A球的速度最小，B球的速度最大，由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出A、B兩球的速度．

解答：解：整個過程分析：子彈擊中A的過程，子彈與A組成的系統動量守恒；子彈、A球一起向右運動，彈簧因被壓縮而產生彈力．A球開始減速，B球開始加速；當兩球速度相等時，彈簧壓縮量達到最大值，此時彈簧的彈性勢能最大；接著，彈簧開始伸長，彈力繼續使B加速而使A減速；當彈簧恢復到原長時，B球速度達到最大值，A球速度達到最小值；然后，彈簧又開始伸長，使A球加速，使B球減速．當兩球速度相等時彈簧的伸長量達到最大（此時彈簧的彈性勢能與壓縮量最大時的彈性勢能相等）…如此反復進行．所以，兩球的速度達到極值的條件--彈簧形變量為零．
（1）設A、B的質量為M，由題意知M=4m，
子彈擊中A的過程，子彈與A組成的系統動量守恒，
由動量守恒定律得：mv₀=（m+M）V  ①，
以子彈、A球、B球作為一系統，以子彈和A球有共同速度為初態，
子彈、A球、B球速度相同時為末態，對系統，由動量守恒定律得：
（m+M）V=（m+M+M）V′②，
由能量守恒定律得：

1

2

(m+M)V2=

1

2

(m+M+M)V′2+EP  ③，
解得：EP=

2m v 2 0

45

  ④；
（2）以子彈和A球有共同速度為初態，子彈和A球速度最小、B球速度最大為末態則
由動量守恒定律得：（m+M）V=（m+M）V_A+MV_B ⑤，
由能量守恒定律得：

1

2

(m+M)V2=

1

2

(m+M)

V

2 A

+

1

2

M

V

2 B

  ⑥，
解得：VA=

1

45

v0VB=

2

9

v0  ⑦，或V_A=

1

5

v₀，V_B=0   ⑧，
根據題意求A球的最小速度和B球的最大速度，所以V_Amin=

1

45

v₀，V_Bmax=

2

9

v₀；
答：（1）A、B兩球速度相等，彈簧壓縮量最大時，彈簧的彈性勢能最大，最大值是

2m v 2 0

45

；
（2）A球的最小速度為

1

45

v₀，B球的最大速度為

2

9

v₀．

點評：分析清楚物體的運動過程是正確解題的關鍵，分析清楚運動過程后，應用動量守恒定律與能量守恒定律即可正確解題．