Question

如圖所示，兩個等高的臺階P和Q相距d=4m，臺階面和它們之間的水平地面均光滑．在地面上靠近P臺階處靜止有一輛質量為M=2kg的平板小車，車的上表面與臺階面齊平．一質量為m=6kg的貨物（可視為質點）以初速度v₀=4m/s在從臺階P沖上小車．貨物與平板車之間的摩擦系數為μ=0.2，小車與臺階的碰撞沒有機械能損失．
（1）若小車與臺階Q第一次碰撞時，貨物已經在車的最右端與小車相對靜止，求小車的長度L；
（2）在第（1）問情況下，貨物從離開臺階P到沖上臺階Q所需的時間t；
（3）若臺階P、Q間的距離足夠長，其他條件不變，要讓貨物能沖上臺階Q，求小車所有可能的長度．

Answer 1

（1）貨物沖上平板車到達到共同速度，以貨物與車組成的系統為研究對象，以貨物的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v_共1，
由能量守恒定律得：

1

2

m

v

20

=

1

2

(M+m)

v

2共1

+μmgL，
聯立代入數據得：v_共1=3m/s，L=1m；
（2）貨物沖上平板車到達到共同速度，對貨物，由動量定理得：
-μmgt₁=mv_共1-mv₀
由動能定理得：-μmgx1=

1

2

m

v

2共1

-

1

2

m

v

20

，
聯立并代入數據得：t₁=0.5s x₁=1.75m，
之后勻運動直至與臺階Q相碰：t₂=

d-x1

V共1

=0.75s
從P到Q總用：t=t₁+t₂=0.5+0.75=1.25s，
（3）PQ間距離足夠長，貨物與小車第一次達到共同速度的值不受影響．v_共1=3m/s
Q第一次碰后會第二次達到共同速度，以貨物初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv_共1-Mv_共1=（M+m）v_共2
解得：v共2=

1

2

v共1，方向向右；
小車再與Q碰撞．碰后的情況與之前的情況類似．所以，第n次達到共同速度時：v共n=(

1

2

)n-1v共1，
若第n次達到共同速度時，貨物恰好出現在小車右端，則貨物可以沖上臺階Q．
從沖上小車到沖上Q，整個過程貨物只相對小車向右單向運動．對系統
由動能定理得：-μmgL1=

1

2

(m+M)

v

2共n

-

1

2

m

v

20

，
解得：L₁=4-

2

4n-1

（n=1、2、3…）
答：（1）小車的長度1m；
（2）貨物從離開臺階P到沖上臺階Q所需的時間為1.25s；
（3）小車所有可能的長度4-

2

4n-1

（n=1、2、3…）．