Question

Ⅰ將一個質量為m的物體掛在一個勁度系數為K的彈簧下面，如果不考慮彈簧的質量和空氣阻力，振動周期T=2π

m K

．為了研究周期和振子質量的關系，設計如圖所示的實驗裝置，將彈簧的一端固定在鐵架臺上，另一端掛一只小盤，鐵架臺的豎桿上固定一個可以上下移動的標志物，作為計時標志．改變小盤中砝碼的質量m，測量全振動50次的時間并求出相應的周期T．某次實驗得到下列數據：

m（10-3kg）	5.00	10.00	15.00	20.00	25.00	30.00
T（s）	42.7 50.0	44.8 50.0	46.8 50.0	48.5 50.0	50.4 50.0	52.1 50.0
T2（s2）	0.729	0.803	0.876	0.941	1.016	1.086

（1）以橫軸代表m，縱軸代表T²，作出T²-m圖．（畫在答卷頁上）并回答為什么不用T作為縱軸而用T²作為縱軸？

 

．
（2）根據圖線求解彈簧的勁度系數

 

．
（3）對T²-m圖作出必要的解釋

 

．

Ⅱ測量“水果電池”的電動勢和內電阻；將一銅片和一鋅片分別插入同一只蘋果內，就構成了簡單的“水果電池”，其電動勢約1.5V，可是這種電池并不能點亮額定電壓為1.5V，額定電流為0.3A的手電筒上的小燈泡．原因是流過小燈泡的電流太小了，經實驗測得還不足3mA．現用量程合適的電壓表、電流表以及滑動變阻器、開關、導線等實驗器材盡量精確地測定“水果電池”的電動勢和內電阻．
（l）若給出的滑動變阻器有兩種規格：A（0～30Ω）、B（0～3kΩ）．本實驗中應該選用哪種規格的滑動變阻器？
（2）請在框內畫出實驗電路圖．
（3）在實驗中根據電壓表的示數U與電流表的示數I的值，經描點、連線得到U-I圖象，如圖所示，根據圖中所給數據，則“水果電池”的電動勢與內電阻分別為E=

 

V，r=

 

Ω．
（4）若不計測量中的偶然誤差，用這種方法測量得出的電動勢和內電阻的值與真實值相比電動勢E

 

．（填“偏大”、“相等”、“偏小”），內電阻r

 

（填“偏大”、“相等”、“偏小”）

Answer 1

分析：Ⅰ（1）由表格數據看出，T與m是非線性關系在，而T²與m是線性關系．
（2）由實驗原理：振動周期T=2π

m K

，變形得到T²=

4π2

k

?m，T²-m圖象的斜率K=

4π2

k

，由數學知識求出斜率，即可得到k．
（3）分析可知圖線不經過原點的原因：沒有考慮砝碼盤的質量和彈簧的質量
Ⅱ、（1）由題“水果電池”的內阻很大，若選用0～30Ω的變阻器，電表讀數幾乎不變．可知選B．
（2）由于變阻器的電阻較大，選擇內接法（測量對象是電源）可減小誤差．
（3）U-I圖象縱軸截距等于電源的電動勢，斜率的絕對值大小等于內阻，由數學知識求得“水果電池”的電動勢與內電阻．
（4）由于電流表的分壓，使得路端電壓存在誤差，運用圖象法分析誤差．

解答：解：（1）由表格數據看出，T與m是非線性關系在，而T²與m是線性關系，所以T²-m圖象簡單，呈線性關系．
（2）由振動周期T=2π

m K

，變形得到T²=

4π2

k

?m，T²-m圖象的斜率K=

4π2

k

，由數學知識得到圖象的斜率大小為K=

1.0-0.66

24×10-3

=14，則k=

4π2

K

=2.8N/m
（3）Ⅰ．圖線不經過原點的原因：沒有考慮砝碼盤的質量和彈簧的質量
Ⅱ（1）由題設條件可知，“水果電池”的內阻很大，若選用0～30Ω的變阻器，當滑動觸頭移動時，電表的讀數幾乎不變，無法多次測量，使實驗的誤差較大．故選用阻值較大的滑動變阻器B．
（2）由于變阻器的電阻較大，選擇內接法（測量對象是電源）可減小誤差．電路圖如下圖．
（3）由圖可知，圖線縱軸的截距即為電動勢，則E=1.5V．圖線的斜率大小等于電源的內阻，則r=

△U

△I

=

1.5

3×10-3

Ω=500Ω．
（4）由于電流表的分壓，使得路端電壓存在誤差，而電流沒有誤差，運用圖象法分別在U-I圖上由測量數據作出的圖線1和修正誤差后真實值作出的圖線2，由圖看出，電動勢沒有系統誤差，即電動勢值與真實值相等，內阻的測量值偏大．
故答案為：
（1）圖線簡單，呈線性關系
（2）2.8N/m
（3）Ⅰ．圖線不經過原點的原因：沒有考慮砝碼盤的質量和彈簧的質量
Ⅱ（1）B （2）略 （3）1.5V，500Ω （4）相等，偏大

點評：第Ⅰ題中采用了轉換法的思維，將非線性關系轉換成線性關系研究，簡單直觀．對于誤差分析通常有兩種方法分析：一是公式法；二是圖象法．