Question

【題目】如圖所示，質量M＝2 kg的物體置于可繞豎直軸勻速轉動的平臺上，M用細繩通過光滑的定滑輪與質量為m＝0.4 kg的物體相連，m懸于空中，與M都處于靜止狀態.假定M與軸O的距離r＝0.5 m，與平臺的最大靜摩擦力為M重力的0.3倍，試問：

（1）平臺轉速由零增大時，M受到的摩擦力如何變化?

（2）M受到的摩擦力最小時，平臺的轉速ω等于多少?

（3）保持M與平臺相對靜止，平臺的最大角速度ωm等于多少?

Answer 1

【答案】(1) M受到的摩擦力先減小后增大 (2) (3)

【解析】（1）當角速度較小時，M有向圓心運動趨勢，故水平面對M的靜摩擦力方向背離圓心，對于M，由靜摩擦力和拉力的合力充當向心力，根據牛頓第二定律得：T-f=Mω2r，而T=mg不變，當ω增大時，摩擦力f減小；當角速度較大時，M有離開圓心的運動趨勢，故水平面對M的靜摩擦力方向指向圓心，對于M，由靜摩擦力和拉力的合力充當向心力，根據牛頓第二定律得：
T+f=Mω2r，而T=mg不變，當ω增大時，摩擦力f增大；
故平臺轉速由零增大時，M受到的摩擦力先減小后增大．
（2）M受到的摩擦力最小為零，僅由繩子的拉力提供向心力，則得：T=Mω02r
又 T=mg
聯立得：rad/s=2rad/s
（3）當ω具有最大值時，M有離開圓心趨勢，水平面對M摩擦力方向指向圓心，并且達到最大值．再隔離M有：T+fm=Mωm2r
而fm=0.3Mg，T=mg
聯立得：