Question

如圖所示，A、B是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為2L，分別帶有等量的負、正電荷，在兩板間形成電場強度大小為E的勻強電場。A板上有一小孔（它的存在對兩板間勻強電場分布的影響可忽略不計），孔的下沿右側有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個質量為，電荷量為的小球（可視為質點），在外力作用下靜止在軌道的中點P處。孔的下沿左側也有一與板垂直的水平光滑絕緣軌道，軌道上距A板L處有一固定檔板，長為L的輕彈簧左端固定在擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q。撤去外力釋放帶電小粒，它將在電場力作用下由靜止開始向左運動，穿過小孔后（不與金屬板A接觸）與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質量都可以忽略不計，可認為小球與Q接觸過程中不損失機械能。小球從接觸 Q開始，經歷時間T₀第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回。由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時小球電荷量的。求：
（1）小球第一次接觸Q時的速度大小；
（2）假設小球第次彈回兩板間后向右運動的最遠處沒有到達B板，試導出小球從第次接觸 Q，到本次向右運動至最遠處的時間T_n的表達式；
（3）若，且小孔右側的軌道粗糙與帶電小球間的滑動摩擦力為，試求帶電小球最終停止的位置距P點的距離。

Answer 1

（1）設小球第一次接觸Q的速度為v，接觸Q前的加速度為a。
根據牛頓第二定律有 qE="ma                                  " （1分）
對于小球從靜止到與Q接觸前的過程，根據運動學公式有v²="2al   " （2分）
聯立解得v=                         （2分）
（2）小球每次離開Q的速度大小相同，等于小球第一次與Q接觸時速度大小
v=                       （2分）
設小球第n次離開Q向右做減速運動的加速度為a_n，速度由v減為零
所需時間為t_n，小球離開Q所帶電荷量為q_n，則
q_nE=ma_n                                              （1分）
                                （1分）
                              （1分）
聯立解得                            （1分）
小球從第n次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間
                                        （2分）
（3）假設小球第1次彈回兩板間后向右運動最遠距A板距離為L₁，則
      即             （2分）
假設小球第2次彈回兩板間后向右運動最遠距A板距離為L₂，則
   即        （3分）
又因此時電場力，即帶電小球可保持靜止  （1分）
帶電小球最終停止的位置距P點的距離為
                        （1分）

解析