Question

如圖所示，AB為固定在豎直平面內粗糙傾斜軌道，BC為光滑水平軌道，CD為固定在豎直平面內的光滑圓弧軌道，且AB與BC通過一小段光滑弧形軌道相連，BC與弧CD相切．已知AB長為L=10m，傾角θ=37°，BC長s=

35

9

m，CD弧的半徑為R=

25

12

m，O為其圓心，∠COD=143°．整個裝置處在水平向左的勻強電場中，電場強度大小為E=1×10³N/C．一質量為m=0.4kg、電荷量為q=+3×10^-3C的物體從A點以初速度v_A=15m/s沿AB軌道開始運動．若物體與軌道AB間的動摩擦因數為μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，物體運動過程中電荷量不變．求
（1）物體在AB軌道上運動時，重力和電場力對物體所做的總功；
（2）物體能否到達D點；
（3）物體離開CD軌道后運動的最高點相對于O點的水平距離x和豎直距離y．

Answer 1

（1）物體所受重力和電場力的合力大小為
F=

(mg)2+(qE)2

=5N，
設合力與豎直方向的夾角為α，則tanα=

qE

F

=

3

5

，
解得，α=37°，
由幾何知識得知，重力和電場力的合力與斜面AB垂直，所以物體在軌道AB上運動時重力和電場力對物體做的總功為W=0．
（2）D點為CD軌道上的等效最高點，設物體能到D點，其速度為v_D
對物體由A到D的過程，由動能定理得
-μFL-qE（s+Rsinα）-mg（R+Rcosα）=

1

2

m

v

2D

-

1

2

m

v

2A

設物體剛能到D點時速度為v₀
由牛頓第二定律得
F=m

v 20

R

解得v₀＞v_D
因此物體不能到達D點．
（3）物體剛要離開軌道時軌道對物體的彈力為零，設此時物體位置與O點連線與豎直方向的夾角為β，物體的速度為v
由牛頓第二定律得
mgcosβ+qEsinβ=m

v2

R

-μFL-qE（s+Rsinβ）-mg（R+Rcosβ）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2A

解得，v=5m/s，sinβ=0.8
物體離開軌道時做斜上拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做豎直上拋運動，設物體到達最高點的時間為t，
則有
vsinβ=gt，得t=0.4s
物體運動的最高點相對于O點的水平距離x=vcosβt+

1

2

qE

m

t2-Rsinβ=

2

15

m
和豎直距離y=

1

2

vsinβt+Rcosβ=2.05m
答：
（1）物體在AB軌道上運動時，重力和電場力對物體所做的總功是0；
（2）物體不能到達D點；
（3）物體離開CD軌道后運動的最高點相對于O點的水平距離x是

2

15

m，豎直距離y是2.05m．