Question

據報道，在太陽系外發現了首顆“宜居”行星，其質量約為地球質量的6.4倍，一個在地球表面重量為600N的人在“宜居”行星表面的重量將變為960N．該行星繞恒星A旋轉，其到恒星A的距離是地球到太陽距離的3倍，恒星A的質量為太陽質量的12倍．由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比為

 

；在該行星上的“一年”與在地球上的“一年”之比為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據一個人地球表面與該行星表面重力之比，即可求出該行星表面與地球表面重力加速度之比．
在忽略自轉的情況下，萬有引力等于物體所受的重力，所以根據重力之比，可以該行星的半徑與地球半徑之比．
（2）行星繞恒星A做勻速圓周運動，由恒星A的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律可以列式得到該行星公式周期的表達式，同理，得到地球繞太陽周期的表達式，即可求出行星與地球公式周期之比，即是在該行星上的“一年”與在地球上的“一年”之比．

解答：解：
（1）在地球表面，有G_地=mg_地．
在該行星表面處，有G_行=mg_行．
則得，該行星表面與地球表面重力加速度之比為：
g_行：g_地=G_行：G_地=960N：600N=16：1
在忽略自轉的情況下，萬有引力等于物體所受的重力得
G

Mm

R2

=mg
有 R²=

GM

g

故

R 2 行

R 2 地

=

M行g地

M地g行

=4
所以該行星的半徑與地球半徑之比為2：1．
（2）對于行星繞恒星的運動，由恒星的萬有引力提供行星的向心力，則有
    G

M恒m行

r2

=m行

4π2

T2

r
得行星公轉周期為 T=2π

r3 GM恒

則得：該行星公轉與地球公式周期之比為
 

T行

T地

=2π

r 3 行 GMA

：2π

r 3 地 GM日

=

3

2

即在該行星上的“一年”與在地球上的“一年”之比為3：2．
故答案為：2：1，3：2

點評：第1題根據黃金代換式g=

GM

r2

研究行星的半徑與地球半徑之比．第2題要建立行星繞恒星運動的模型，根據恒星的萬有引力提供行星的向心力，列式求解周期關系．