Question

如圖甲所示，兩根足夠長的豎直光滑平行金屬導軌相距為L₁=0.1m，導軌下端通過導線連接阻值R=0.4Ω的電阻．質量為m=0.2kg、阻值r=0.1Ω的金屬棒ab與導軌垂直并保持良好接觸，整個裝置處于垂直導軌平面向外的均勻變化的勻強磁場中．
（1）若金屬棒距導軌下端為L₂=0.2m，磁場隨時間變化的規律如圖乙所示，為保持金屬棒靜止，試求作用在金屬棒中央、沿豎直方向的外力隨時間變化的關系式；
（2）若所加勻強磁場的磁感應強度大小恒為B′，通過恒定功率P_m=6W的豎直向上的拉力使棒從靜止開始向上運動，棒向上運動的位移隨時間變化的情況如圖丙所示，圖中OA段為曲線，AB段為直線，其反向延長線與t軸的交點坐標為（0.6，0）．試求磁感應強度B′的大小和變速運動階段在電阻R上產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）為保持金屬棒靜止，合力必須為零，沿導軌方向外力F、重力的分力和安培力必須平衡．由乙圖知，B均勻增大，回路中產生恒定的感應電流，根據法拉第電磁定律、歐姆定律和安培力公式，結合平衡條件求外力F的表達式．
（2）由x-t圖象可知，金屬棒先做加速運動，后做勻速運動．根據斜率等于速度求出金屬棒勻速運動時的速度．勻速運動時，棒的合外力為零，根據平衡條件和安培力列式，可求出磁感應強度B′的大小．對金屬棒從靜止到開始勻速運動階段，由能量守恒求出回路中產生的總熱量，再由焦耳定律求解電阻R上產生的熱量．

解答：解：（1）金屬棒在豎直方向上受力平衡，外力應向上，設其大小為F，
則有：F-mg-BIL₁=0
由乙圖可知，t時刻磁感應強度B的大小可表示為B=2.5tT，t時刻，回路中產生的感應電動勢 為：E=

△?

△t

=

△BL1L2

△t

=0.05V
此時回路中的感應電流為：I=

E

R+r

=0.1A  
聯立得：F=（2+0.025t）N
（2）根據丙圖可知，金屬棒從靜止開始，經過t=1.0s時間．移動△s=0.8m后做勻速運動，
勻速時的速度為：v=

△s

△t

=

0.8m

0.4s

=2m/s
勻速時由平衡條件得：

P

v

=mg+B′I′L1
 I′=

E

R+r

=

B′L1v

R+r

聯立得：B′=5T
對金屬棒從靜止到開始勻速運動階段，由能量守恒知：Pt=mgh+

1

2

mv2+Q
由R中產生的熱量為：QR=

R

R+r

Q
聯立得：Q_R=3.2J
答：（1）作用在金屬棒中央、沿豎直方向的外力隨時間變化的關系式為F=（2+0.025t）N；
（2）磁感應強度B′的大小為5T，變速運動階段在電阻R上產生的熱量為3.2J．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合應用，還整合了電路、力學和電磁感應中：歐姆定律、焦耳定律、動能定理等等多個知識點，還要理解x-t圖象的物理意義，綜合性較強．