Question

如圖所示，豎直放置的半圓形光滑絕緣軌道半徑為R，圓心為O，最高點為D，下端與絕緣水平軌道在B點平滑連接。一質量為m、帶電量為+q的小物塊置于水平軌道上的A點。已知A、B兩點間的距離為L，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。
（1）若物塊能到達的最高點是半圓形軌道上與圓心O等高的C點，則物塊在A點水平向左的初速度應為多大？
（2）若整個裝置處于方向豎直向上的勻強電場中，物塊在A點水平向左的初速度v_A=，沿軌道恰好能到達最高點D，并向右飛出，則勻強電場的場強E多大？
（3）若整個裝置處于方向水平向左、場強大小E′=的勻強電場中，現將物塊從A點由靜止釋放，
運動過程中始終不脫離軌道，求物塊第2n（n＝1、2、3……）次經過B點時的速度大小。

Answer 1

（1）v₀＝（2）E＝（3）  

（1）從A到C的過程中，由動能定理有
－mgR－μmgL＝0－mv₀²   …………………………………………………………… ①（3分）
解得：v₀＝    ……………………………………………………………… ②（2分）
（2）從A到D的過程中，由動能定理有
－mg·2R＋qE·2R－μ(mg－qE)L＝mv_D²－mv_A²    ………………………………… ③（3分）
在D點，由牛頓第二定律有
mg－qE＝m     ……………………………………………………………………… ④（2分）
由③④解得：E＝     ……………………………………………………… ⑤（2分）
（3）由題意可知，物塊第2次通過B點時的速率與第1次通過B點時的速率相等，
當n＝1時，從A到B的過程中，由動能定理有
qE′L－μmgL＝mv₁²－0     …………………………………………………………… ⑥
則v₂＝v₁＝      ………………………………………………………………… ⑦（1分）
之后物塊向右最遠運動L₂的距離到B′點，該過程中由動能定理有
－qE′L₂－μmgL₂＝0－mv₂²      ……………………………………………………… ⑧
解得：L₂＝L     ……………………………………………………………………… ⑨（1分）
當n＝2時，從B′到B的過程中，由動能定理有
qE′L₂－μmgL₂＝mv₃²－0
則v₄＝v₃＝
同理可知：L_2n＝L   ………………………………………………………………… ⑩（2分）
根據qE′L_2n－μmgL_2n＝mv_2n－1²－0   ………………………………………………… ⑾（2分）
v_2n＝v_2n－1＝    ………………………………………………………………… ⑿（2分）
本題考查動能定律和圓周運動的應用，由A到C應用動能定理可求解，同理由A到D得過程中，應用動能定理可求解電場力做功，從而求得場強大小，物塊第2次通過B點時的速率與第1次通過B點時的速率相等，當n＝1時，從A到B的過程中，動能定理列公式，當n＝2時，從B′到B的過程中，由動能定理列公式會聯立求得