Question

（2011?福建）如圖甲，在x＞0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xoy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B．一質量為m，帶電量為q（q＞0）的粒子從坐標原點O處，以初速度v₀沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡見圖甲，不計粒子的重力．
（1）求該粒子運動到y(tǒng)=h時的速度大小v；
（2）現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮。�發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡（y-x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖乙所示；同時，這些粒子在y軸方向上的運動（y-t關系）是簡諧運動，且都有相同的周期T=

2πrn

qB

．
Ⅰ．求粒子在一個周期T內(nèi)，沿x軸方向前進的距離S；
Ⅱ．當入射粒子的初速度大小為v₀時，其y-t圖象如圖丙所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A，并寫出y-t的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析：（1）在粒子的運動的過程中，磁場力不做功，只有電場力做功，根據(jù)動能定理可以求得粒子的運動的速度的大小；
（2）Ⅰ．由圖乙可知，所有粒子在一個周期T內(nèi)沿x軸方向前進的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運動的粒子在T時間內(nèi)前進的距離．
Ⅱ．設粒子在y軸方向上的最大位移為y_m（圖丙曲線的最高點處），對應的粒子運動速度大小為v₂（方向沿x軸），因為粒子在y方向上的運動為簡諧運動．

解答：解：（1）由于洛倫茲力不做功，只有電場力做功，
由動能定理有-qEh=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

①
由①式解得                     
 v=

v 2 0 - 2qEh m

②
（2）Ⅰ．由圖乙可知，所有粒子在一個周期T內(nèi)沿x軸方向前進的距離相同，
即都等于恰好沿x軸方向勻速運動的粒子在T時間內(nèi)前進的距離．
設粒子恰好沿x軸方向勻速運動的速度大小為v₁，則
qv₁B=qE                            ③
又  S=v₁T                               ④
式中 T=

2πm

qB

由③④式解得                    
 S=

2πmE

qB2

⑤
Ⅱ．設粒子在y軸方向上的最大位移為y_m（圖丙曲線的最高點處），對應的粒子運動速度大小為v₂（方向沿x軸），因為粒子在y方向上的運動為簡諧運動，因而在y=0和y=y_m處粒子所受的合外力大小相等，方向相反，
則
qv₀B-qE=-（qv₂B-qE）          ⑥
由動能定理有     -qEym=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

⑦
又   Ay=

1

2

ym⑧
由⑥⑦⑧式解得                      
Ay=

m

qB

(v0-

E

B

)
可寫出圖丙曲線的簡諧運動y-t函數(shù)表達式為y=

m

qB

(v0-

E

B

)(1-cos

qB

m

t)．

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．