Question

如圖所示（俯視），MN和PQ是兩根固定在同一水平面上的足夠長且電阻不計的平行金屬導軌.兩導軌間距為L=0.2m，其間有一個方向垂直水平面豎直向下的勻強磁場B₁=5.0T.導軌上NQ之間接一電阻R₁=0.40Ω，阻值為R₂=0.10Ω的金屬桿垂直導軌放置并與導軌始終保持良好接觸.兩導軌右端通過金屬導線分別與電容器C的兩極相連.電容器C緊靠準直裝置b，b緊挨著帶小孔a（只能容一個粒子通過）的固定絕緣彈性圓筒.圓筒壁光滑，筒內有垂直水平面豎直向下的勻強磁場B₂，O是圓筒的圓心，圓筒的內半徑r=0.40m.
（1）用一個方向平行于MN水平向左且功率恒定為P=80W的外力F拉金屬桿，使桿從靜止開始向左運動.已知桿受到的摩擦阻力大小恒為F_f=6N，求：當金屬桿最終勻速運動時桿的速度大小及電阻R₁消耗的電功率？
（2）當金屬桿處于（1）問中的勻速運動狀態時，電容器C內緊靠極板的D處的一個帶正電的粒子經C加速、b準直后從a孔垂直磁場B₂并正對著圓心O進入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒.已知該帶電粒子每次與筒壁發生碰撞時電量和能量都不損失，不計粒子的初速度、重力和空氣阻力，粒子的荷質比q/m=5×10⁷(C/kg)，則磁感應強度B₂多大（結果允許含有三角函數式）？

Answer 1

（1）（2）見解析

（1）金屬桿先做加速度變小的加速運動，最終以最大速度勻速運動.設桿勻速運動時速度為v，回路中的感應電流為I，桿受到的安培力大小為F_A，電阻R₁消耗的電功率為P₁，則
（1）           （2）       （3）
聯立（2）(3)得：         （4）
將已知數據代入(4)式解得：                ……（4分）
以及：                            ……（1分）
（2）設桿勻速運動時C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進入圓筒的速率為V、在磁場中作勻速圓周運動的半徑為R，由于C與電阻R₁并聯，
據歐姆定律得，                        
據動能定理有，                       （5）
帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動，    （6）
聯立（5）（6）得：                  （7）……（4分）
由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時無電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個碰撞點與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內的軌跡具有對稱性，由5段相同的圓弧組成，設每段軌跡圓弧對應的圓心角為，則由幾何關系可得：
     （8）……（1分）
有兩種情形符合題意（如圖所示）：
（ⅰ）情形1：每段軌跡圓弧對應的圓心角為
聯立（7）（8）并代入值得： （9）
將數據代入(9)式得： （10）……（4分）

（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對應的圓心角為  
聯立（7）（8）并代入值得： （11）
將數據代入(11)式得：        （12）……（4分）