Question

【題目】神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律．天文學家觀測河外星系麥哲倫云時，發現了LMCX﹣3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成，兩星視為質點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者的連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示，引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T．

（1）可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m'的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為m1、m2 ． 試求m′（用m1、m2表示）
（2）求暗星B的質量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，其為ω．

由牛頓運動定律，

對A：FA=m1ω2r1 對B：FB=m2ω2r2 FA=FB

設A、B之間的距離為r又r=r1+r2，由上述各式得r= ①

由萬有引力定律，有FA=G

將①代入得

令

比較可得m′= ②

（2）

解：根據題意，可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m'的星體對它的引力，由牛頓第二定律，有 ③

得 m′= ④

又可見星A的線速度大小v= ⑤

由④⑤得，m′=

由②⑤可得

【解析】雙星系統構成的條件是雙星的角速度相同，依靠它們之間的萬有引力提供各自的向心力．由于兩星球的加速度不同，必須采用隔離法運用牛頓定律分別對兩星球研究，并通過數學變形求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解萬有引力定律及其應用的相關知識，掌握應用萬有引力定律分析天體的運動：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供.即 F引=F向；應用時可根據實際情況選用適當的公式進行分析或計算.②天體質量M、密度ρ的估算，以及對向心力的理解，了解向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力．