Question

如圖所示,光滑水平面上有兩個質量分別為m₁,和m₂的小球1和2,它們在一條與右側豎直墻壁垂直的直線上前后放置.設開始時球2靜止,球1以速度v₀對準球2運動,不計各種摩擦,所有碰撞都足彈性的,如果要求兩球只發生兩次碰撞,試確定m₁/m₂比值的范圍.

Answer 1

12.分別就m₁＞m₂,m₁=m₂,m₁＜m₂三種情形作具體分析,即可求得為使兩球只碰撞兩次,m₁/m₂所應滿足的條件.由彈性碰撞的知識可知:,,式中v₁和v₂取正值表示速度方向向右,取負值表示向左.第一次碰撞后,v₂必為正;v₁可能為正、零或負,由m₁與m₂的比值決定.現分別討論如下:(1)m₁＞m₂:球2以-v₂左行,與以速度v₁,右行的球1發生第二次碰撞,碰后球1與球2的速度分別為,.因m₁＞m₂,故v₂′＞0,與墻壁碰撞后以速度-v₂′左行.為了不與球1發生第三次碰撞,首先要求球1左行,即:(m₁—m₂)²-4m₁m₂＜0,解得:.其次還要求碰撞后的球2追不上球1,v₂′＜-v₁′,即:4m₁(m₁-m₂)≤4m₁m₂-(m₁-m₂)₂,解得:,由以上兩個不等式,加上條件,得出的取值范圍為:.(2)m₁=m₂:由完全彈性碰撞的規律,質量相同的兩個球相碰后互換速度,所以第二次碰撞后球1和球2不會再次相碰.(3)m₁＜m₂:第一次碰撞后,球1左行,球2右行.球2碰墻后為了能追上球1作第二次碰撞,要求-v₂＞v₁,即:2m₁＞m₂

-m₁,解得:,所以,的取值范圍應為:.綜上所述,為了使兩球能夠作二次碰撞,且只能作二次碰撞的條件是: