Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX3 雙星系統，它由可見星 A 和不可見的暗星 B 構成，兩星視為質點，不考慮其他天體的影響.A、B 圍繞兩者連線上的 O 點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖1-5-11 所示.引力常量為 G，由觀測能夠得到可見星 A 的速度 v 和運行周期T.

圖1-5-11

（1）可見星 A 所受暗星 B 的引力 F_a 可等效為位于 O 點處質量為 m＇的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為m₁、m₂，試求m′（用 m₁、m₂ 表示）;

（2）求暗星 B 的質量 m₂ 與可見星 A 的速率 v、運行周期 T 和質量 m₁ 之間的關系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量 m_s 的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星 A 的速率 v=2.7×10⁵ m/s，運行周期 T=4.7π×10⁴ s，質量 m₁=6m_s，試通過估算來判斷暗星 B 有可能是黑洞嗎？

（G=6.67×10^-11 N·m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰ kg）

Answer 1

解析：設 A、B 圓軌道半徑分別為 r₁、r₂，由題意知，A、B 做勻速圓周運動的角速度相同，設其為ω.

（1）由牛頓運動定律，有

F_A=m₁ω²r₁

F_B=m₂ω²r₂

F_A=F_B

設A、B之間的距離為 r，又 r=r₁+r₂，由上述各式得r=                   ①

由萬有引力定律，有F_A=

將①代入得F_A=

令F_A=

比較可得m′=                                                    ②

（2）由牛頓第二定律，有                                      ③

又可見星 A 的軌道半徑r₁=                                               ④

由②③④式解得                                           ⑤

（3）將m₁=6m_s 代入⑤式，得

代入數據得=3.5m₅                                                ⑥

設m₂=nm_s（n＞0），將其代入⑥式，得

=3.5m_s                                              ⑦

可見，的值隨 n 的增大而增大，試令 n=2，得

m_s=0.125m_s＜3.5m_s                                                    ⑧

若使⑦式成立，則 n 必大于2，即暗星 B 的質量 m₂ 必大于 2m_s，由此得出結論：暗星 B 有可能是黑洞.

答案：（1）m′=

（2）

（3）暗星 B 有可能是黑洞.