Question

（2006?天津）神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律．天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成．將兩星視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，（如圖）所示．引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T．
（1）可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為m1、m2，試求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的質量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系式；
（3）恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量ms的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見星A的速率v=2.7×10⁵ m/s，運行周期T=4.7π×10⁴s，質量m1=6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G=6.67×10-11N?m2/kg2，ms=2.0×10³⁰ kg）

Answer 1

分析：（1）抓住A、B做圓周運動的向心力相等，角速度相等，求出A、B軌道半徑的關系，從而得知A、B距離為A衛星的軌道半徑關系，可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質量為m′的星體（視為質點）對它的引力，根據萬有引力定律公式求出質量m′．
（2）根據萬有引力提供向心力求出暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式；
（3）根據第（2）問的表達式求出暗星B的質量，與太陽的質量進行比較，判斷是否是黑洞．

解答：解：（1）設A、B圓軌道的半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B的角速度相等，為ω₀，
有：FA=m1r1ω02，FB=m2r2ω02，又F_A=F_B．
設A、B之間的距離為r，又r=r₁+r₂．
由以上各式得，r=

m1+m2

m2

r1   ①
由萬有引力定律得，FA=

Gm1m2

r2

．
將①代入得，FA=G

m1m23

(m1+m2)2r2

令FA=G

m1m′

r12

，比較可得m′=

m23

(m1+m2)2

．②
（2）由牛頓第二定律有：G

m1m′

r12

=m1

v2

r1

，③
又可見星的軌道半徑r1=

vT

2π

④
由②③④得，

m23

(m1+m2)2

=

v3T

2πG

．
（3）將m₁=6m_s代入

m23

(m1+m2)2

=

v3T

2πG

得，

m23

(6ms+m2)2

=

v3T

2πG

  ⑤
代入數據得，

m23

(6ms+m2)2

=3.5ms．⑥
設m₂=nm_s，（n＞0）將其代入⑥式得，

m23

(m1+m2)2

=

n

( 6 n +1)2

ms=3.5ms．⑦
可見，

m23

(6ms+m2)2

的值隨n的增大而增大，令n=2時，得

n

( 6 n +1)2

ms=0.125ms＜3.5ms⑧
要使⑦式成立，則n必須大于2，即暗星B的質量m₂必須大于2m₁，由此得出結論，暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m′=

m23

(m1+m2)2

．
（2）暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式為

m23

(m1+m2)2

=

v3T

2πG

．
（3）暗星B有可能是黑洞．

點評：本題是雙子星問題，關鍵抓住雙子星所受的萬有引力相等，轉動的角速度相等，根據萬有引力定律和牛頓第二定律綜合求解．