Question

（2010?浙江）在一次國際城市運動會中，要求運動員從高為H的平臺上A點由靜止出發，沿著動摩擦因數為滑μ的道向下運動到B點后水平滑出，最后落在水池中．設滑道的水平距離為L，B點的高度h可由運動員自由調節（取g=10m/s²）．求：
（1）運動員到達B點的速度與高度h的關系；
（2）運動員要達到最大水平運動距離，B點的高度h應調為多大？對應的最大水平距離S_max為多少？
（3）若圖中H=4m，L=5m，動摩擦因數μ=0.2，則水平運動距離要達到7m，h值應為多少？

Answer 1

分析：清楚運動員的運動過程，可運用動能定理研究A到B得過程把運動員到達B點的速度與高度h的關系聯系起來．
求s的最大值，方法是把這個s先通過平拋運動規律表示出來，通過數學函數知識（可以配方）求極值．

解答：解析：
（1）設AB與水平面夾角為θ
A運動到B過程，摩擦阻力做功為 μmgcosθ

L

cosθ

=μmgL
由A運動到B過程應用動能定理：
mg（H-h）-μmgL=

1

2

mv_B²-0?v_B=

2g(H-h-μL)

（2）離開B點做平拋運動
豎直方向：h=

1

2

gt²?t=

2h g

．
水平方向：x=v_Bt 
解得：x=2

(H-μL-h)h

=2

-h2+(H-μL)h

　
當h=

H-μL

2

時，x有最大值，x_max=H-μL
∴對應的最大水平距離S_max=H-μL+L．
（3）把數據代入x=2

(H-μL-h)h

x=2

(4-0.2×5-h)h

=7-5=2m
?h²-3h+1=0，
解得：h₁=

3+ 5

2

=2.62m     h₂=

3- 5

2

=0.38m．
答：（1）運動員到達B點的速度與高度h的關系是v_B=

2g(H-h-μL)

；
（2）當h=-

H-μL

2×(-1)

時，x有最大值，S_max=H-μL
（3）h的值有：h₁=

3+ 5

2

=2.62m，h₂=

3- 5

2

=0.38m．

點評：第一問中也可以用牛頓第二定律結合運動學公式求解，哪個簡便你可以去嘗試比較．
求一個物理量的極值，常見的方法是把這個物理量先表示出來，通過數學知識（可以配方）求極值．