Question

在半徑R=5000km的某星球表面，宇航員做了如下實驗，實驗裝置如圖甲所示．豎直平面內的光滑軌道由軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質量m=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點靜止滑下，用壓力傳感器測出小球經過C點時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應的F大小，F隨H的變化關系如圖乙所示．求：
（1）設軌道圓半徑為r，星球表面的重力加速度為g，試推導出F與H的函數關系式
（2）圓軌道的半徑r，及星球表面的重力加速度g．
（3）該星球的第一宇宙速度v₁多大？

Answer 1

分析：（1、2）小球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球對軌道C點的壓力與H的關系式，然后結合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度．
（3）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運動的速度相等，根據萬有引力等于重力mg=m

v2

R

求出該星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）小球過C點時滿足F+mg=m 

vC2

r

又根據mg（H-2r）=

1

2

mv_C²
聯立解得F=

2mg

r

H-5mg   
（2）由題圖可知：H₁=0.5m時F₁=0；H₂=1.0m時F₂=5N；
可解得g=5m/s²  r=0.2m
（3）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運動的速度相等，
根據m

v12

R

=mg
可得v₁=

Rg

=5×10³m/s．
答：（1）F與H的函數關系式為F=

2mg

r

H-5mg；（2）圓軌道的半徑r為0.2m，星球表面的重力加速度g為5m/s²；（3）該星球的第一宇宙速度為5×10³m/s．

點評：本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，解決本題的關鍵根據該規律得出壓力F與H的關系式．