Question

如圖所示，皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R= m，兩輪軸心相距L=3.75m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個質量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ= 。g取10m/s²。

（1）當傳送帶沿逆時針方向以v₁=3m/s的速度勻速運動時，將小物塊無初速地放在A點后，它運動至B點需多長時間？（計算中可取≈16，≈20）

（2）小物塊相對于傳送帶運動時，會在傳送帶上留下痕跡。當傳送帶沿逆時針方向勻速運動時，小物塊無初速地放在A點，運動至B點飛出。要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運動的速度v₂至少多大？

Answer 1

（1）12s；（2）12.25m/s

解析:

（1）當小物塊速度小于3m/s時，小物塊受到豎直向下、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運動，設加速度為a₁，根據牛頓第二定律

mgsin30° + μmgcos30°=ma₁                                                                                                 ①1分

解得 a₁ = 7.5m/s²

當小物塊速度等于3m/s時，設小物塊對地位移為L₁，用時為t₁，根據勻加速直線運動規律

                                                                                                                               ②1分

                                                                                                                            ③1分

解得 t₁ = 0.4s   L₁ = 0.6m

由于L₁＜L 且μ＜tan30°，當小物塊速度大于3m/s時，小物塊將繼續做勻加速直線運動至B點，設加速度為a₂，用時為t₂，根據牛頓第二定律和勻加速直線運動規律

mgsin30°－μmgcos30°=ma₂                                                                                                  ④1分

解得  a₂ = 2.5m/s²

L－L₁ = v₁t₂ +a₂t₂²                                                                                                          ⑤1分

解得 t₂ = 0.8s

故小物塊由禁止出發從A到B所用時間為 t = t₁ + t₂ = 1.2s                                                    1分

（2）作v—t圖分析知：傳送帶勻速運動的速度越大，小物塊從A點到B點用時越短，當傳送帶速度等于某一值v′ 時，小物塊將從A點一直以加速度a₁做勻加速直線運動到B點，所用時間最短，即

L =a₁t_min²                                                                                                                       ⑥1分

解得t_min = 1s

v′ =a₁t_min =7.5m/s

此時小物塊和傳送帶之間的相對路程為 △S = v′ t－L = 3.75m

傳送帶的速度繼續增大，小物塊從A到B的時間保持不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續增大；當痕跡長度等于傳送帶周長時，痕跡為最長S_max，設此時傳送帶速度為v₂，則

S_max = 2L + 2πR                                                                                                                  ⑦1分

S_max = v₂t－L                                                                                                                      ⑧1分

聯立⑥⑦⑧解得 v₂ =12.25m/s                                                                                                 1分