Question

如圖所示，皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R= m，兩輪軸心相距L=3．75m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個質量為0．1kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ= 。g取10m/s²。

（1）當傳送帶沿逆時針方向以v₁=3m/s的速度勻速運動時，將小物塊無初速地放在A點后，它運動至B點約需多長時間？
（2）小物塊相對于傳送帶運動時，會在傳送帶上留下痕跡。當傳送帶沿逆時針方向勻速運動時，小物塊無初速地放在A點，運動至B點飛出。要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運動的速度v₂至少多大？

Answer 1

解答： （1）當小物塊速度小于3m/s時，小物塊受到豎直向下、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運動，設加速度為a₁，根據牛頓第二定律
    mgsin30° + μmgcos30°=ma₁        ①
解得 a₁ = 7．5m/s²
當小物塊速度等于3m/s時，設小物塊對地位移為L₁，用時為t₁，根據勻加速直線運動規律
    t₁ =            ②
    L₁ =           ③
解得 t₁ = 0．4s  L₁ = 0．6m
由于L₁＜L且μ＜tan30°，當小物塊速度大于3m/s時，小物塊將繼續做勻加速直線運動至B點，設加速度為a₂，用時為t₂，根據牛頓第二定律和勻加速直線運動規律
    mgsin30°－μmgcos30°=ma₂         ④
解得 a₂ = 2．5m/s²
    L－L₁ = v₁t₂ + a₂t₂²                 ⑤
解得 t₂ = 0．8s
故小物塊由禁止出發從A到B所用時間為 t = t₁ + t₂ = 1．2s
（2）作v—t圖分析知：傳送帶勻速運動的速度越大，小物塊從A點到B點用時越短，當傳送帶速度等于某一值v′ 時，小物塊將從A點一直以加速度a₁做勻加速直線運動到B點，所用時間最短，即
    L = a₁t_min²       ⑥
解得t_min= 1s
    v′ =a₁t_min =7．5m/s
此時小物塊和傳送帶之間的相對路程為 △S = v′ t－L = 3．75m
傳送帶的速度繼續增大，小物塊從A到B的時間保持不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續增大；當痕跡長度等于傳送帶周長時，痕跡為最長S_max，設此時傳送帶速度為v₂，則
    S_max = 2L + 2πR  ⑦
    S_max = v₂t－L     ⑧
聯立⑥⑦⑧解得 v₂ = 12．25m/s

解析