Question

如圖所示，水平虛線X下方區域分布著方向水平、垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，整個空間存在勻強電場（圖中未畫出）。質量為m，電荷量為+q的小球P靜止于虛線X上方A點，在某一瞬間受到方向豎直向下、大小為I的沖量作用而做勻速直線運動。在A點右下方的磁場中有定點O，長為l的絕緣輕繩一端固定于O點，另一端連接不帶電的質量同為m的小球Q，自然下垂。保持輕繩伸直，向右拉起Q，直到繩與豎直方向有一小于5⁰的夾角，在P開始運動的同時自由釋放Q，Q到達O點正下方W點時速率為v₀。P、Q兩小球在W點發生正碰，碰后電場、磁場消失，兩小球粘在一起運動。P、Q兩小球均視為質點，P小球的電荷量保持不變，繩不可伸長，不計空氣阻力，重力加速度為g。

 (1)求勻強電場場強E的大小和P進入磁場時的速率v；

 (2)若繩能承受的最大拉力為F，要使繩不斷，F至少為多大？

 (3)求A點距虛線X的距離s。

Answer 1

解：

(1)設小球P所受電場力為F₁，則F₁=qE         ①

在整個空間重力和電場力平衡，有F_l=mg              ②

聯立相關方程得   E=mg/q                               ③

設小球P受到沖量后獲得速度為v，由動量定理得I=mv      ④

得   v=I/m                                                                           ⑤

說明：①②③④⑤式各1分。

(2)設P、Q同向相碰后在W點的最大速度為v_m，由動量守恒定律得

mv+mv₀=(m+m)v_m                                                                                                                       ⑥

此刻輕繩的張力也為最大，由牛頓運動定律得F-(m+m)g=v_m²                                       ⑦

聯立相關方程，得       F=()²+2mg                   ⑧

說明：⑥⑦式各2分，⑧式1分。

(3)設P在肖上方做勻速直線運動的時間為h，則    t_P1=            ⑨

  設P在X下方做勻速圓周運動的時間為t_P2，則

  t_P2=                 ⑩

  設小球Q從開始運動到與P球反向相碰的運動時間為t_Q，由單擺周期性，有

                      11

由題意，有    t_Q=t_P1+ t_P2    12

  聯立相關方程，得

           n為大于的整數       13

設小球Q從開始運動到與P球同向相碰的運動時間為t_Q^´,由單擺周期性，有

              14

  同理可得

          n為大于的整數              15

  說明：⑨11 12 14式各1分，⑩     13    15式各2分。