Question

土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運動可視為勻速圓周運動．其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為R_A和R_B．忽略所有巖石顆粒間的相互作用．（結果用字母表示）
1）求巖石顆粒A和B的線速度之比．
2）求巖石顆粒的A和B的向心加速度之比．
3）若測得A顆粒的運行周期為T_A，已知引力常量為G，求土星的質量．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力即G

Mm

r2

=m

v2

r

可列式求解；
（2）根據萬有引力提供向心力列式G

Mm

r2

=man求解；
（3）根據萬有引力提供向心力即G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r可求解．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力，即G

Mm

r2

=m

v2

r

可得：線速度的平方與軌道半徑成反比，所以有：

vA

vB

=

RB RA

（2）根據萬有引力提供向心力列式G

Mm

r2

=man
可得，向心力加速度與軌道半徑的平方成反比．則有：

aA

aB

=

R 2 B

R 2 A

（3）根據萬有引力提供向心力即G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
可得，土星（中心天體）的質量M=

4π2RA3

G T 2 A

答：1）求巖石顆粒A和B的線速度之比

RB

RA

；
2）求巖石顆粒的A和B的向心加速度之比

R 2 B

R 2 A

．
3）若測得A顆粒的運行周期為T_A，已知引力常量為G，所以土星的質量

4π2RA3

G T 2 A

點評：本題是萬有引力定律得簡單應用問題，可列出表達式直接對比求解．