Question

如圖所示，一質量為M=0.4kg的光滑半圓形凹槽放在光滑水平面上，凹槽的半徑為R=0.25m，另一質量為m=0.1kg的小球從凹槽的左側最高點由靜止釋放，求：
（1）凹槽向左移動的最大距離；
（2）小球滑至凹槽的最低點時小球的速度；
（3）當小球滑至凹槽的最低時，小球對凹槽的壓力．

Answer 1

分析：（1）小球從靜止下滑時，系統水平方向不受外力，動量守恒．小球下滑直到右側最高點的過程中，凹槽一直向左運動，根據系統水平方向平均動量守恒，用水平位移表示小球和凹槽的速度，根據動量守恒列式求解凹槽向左移動的最大距離；
（2）小球滑至凹槽的最低點時，根據系統的水平方向動量守恒和機械能守恒列式，即可求出小球的速度；
（3）當小球滑至凹槽的最低時，凹槽的支持力和重力提供小球圓周運動的向心力，根據小球相對于凹槽的速度表達向心力，由牛頓第二定律列式求解支持力，即可得到小球對凹槽的壓力．

解答：解：（1）當小球滾到最右端時，凹槽向左移動的距離最大，設此過程中
小球水平位移的大小為s₁，凹槽水平位移的大小為s₂．
在這一過程中，由系統水平方向總動量守恒得（取水平向左為正方向）
  m

s1

t

-M

s2

t

=0
又 s₁+s₂=2R
由此可得：s₂=

m

M+m

2R=0.1m
（2）當小球滾至凹槽的最低時，小球和凹槽的速度大小分別為v₁和v₂．據水平方向動量守恒
  mv₁=mv₂
另據機械能守恒得：mgR=

1

2

mv₁²+

1

2

Mv₂²
可得：v₁=

M M+m 2gR

=2m/s
  v₂=0.5m/s
（3）當小球滾至凹槽的最低時，根據牛頓第二定律得：
  N-mg=m

v 2 相

R

=m

(v1+v2)2

R

  N=m

(v1+v2)2

R

+mg=3.5N
根據牛頓第三定律可知小球對凹槽的壓力大小為3.5N．
答：
（1）凹槽向左移動的最大距離為0.1m；
（2）小球滑至凹槽的最低點時小球的速度為0.5m/s；
（3）當小球滑至凹槽的最低時，小球對凹槽的壓力為3.5N．

點評：本題中前兩題是常規題，利用系統水平方向動量守恒和機械能守恒列式，即可求出相關量．關鍵是第3問，運用向心力時，v是小球相對于凹槽的速度，是v₁+v₂，不是小球相對于地的速度v₁．