Question

【題目】如圖所示為演示“過山車”原理的實驗裝置，該裝置由兩段傾斜直軌道與一圓軌道拼接組成，在圓軌道最低點處的兩側稍錯開一段距離，并分別與左右兩側的直軌道平滑相連。

某研學小組將這套裝置固定在水平桌面上，然后在圓軌道最高點A的內側安裝一個薄片式壓力傳感器（它不影響小球運動，在圖中未畫出）。將一個小球從左側直軌道上的某處由靜止釋放，并測得釋放處距離圓軌道最低點的豎直高度為h，記錄小球通過最高點時對軌道（壓力傳感器）的壓力大小為F。此后不斷改變小球在左側直軌道上釋放位置，重復實驗，經多次測量，得到了多組h和F，把這些數據標在F-h圖中，并用一條直線擬合，結果如圖所示。

為了方便研究，研學小組把小球簡化為質點，取重力加速度g=10m/s2。請根據該研學小組的簡化模型和如圖所示的F-h圖分析并回答下列問題：

（1）若空氣及軌道對小球運動的阻力均可忽略不計，

①圓軌道的半徑R和小球的質量m；

②若兩段傾斜直軌道都足夠長，為使小球在運動過程中始終不脫離圓軌道，釋放高度h應滿足什么條件；

③ 當釋放處的豎直高度h=0.40m時，求小球到達圓軌道最低點時所受軌道的支持力的大小N1；

④當釋放處的豎直高度h=0.40m時，求小球到達圓軌道圓心等高處時對軌道的壓力N2。

（2）在利用此裝置進行某次實驗時，由于空氣及軌道對小球運動的阻力不可忽略，當釋放處的豎直高度h=0.50m時，壓力傳感器測得小球對軌道的壓力N=0.32N，求小球從靜止運動至圓軌道最高點的過程中克服阻力所做的功W。

Answer 1

【答案】（1）①0.16m，0.032kg ②h≤0.16m或者h≥0.4m ③1.92N ④0.96N（2）6.4×10-3J

【解析】

（1）①設小球到達A點速度為vA，根據動能定理：

在A點，設軌道對小球的壓力為N，根據牛頓第二定律：

根據牛頓第三定律：

N=F

聯立上述三式可得：

對比F-h圖象，根據斜率和截距關系，可得：

解得：

R=0.16m

m=0.032kg

②假設h=h1時，小球恰好到達最高點A，此時F=0
由F-h圖象可得：h1=0.4m
假設h=h2時，小球恰好到達圓軌道圓心的右側等高點，此過程根據動能定理：

mg（h2-R）=0-0

解得：

h2=R=0.16m

綜上，為使小球在運動過程中始終不脫離圓軌道，釋放高度h應滿足：h≤0.16m或者h≥0.4m

③ 當釋放處的豎直高度h=0.40m時，到達最高點時對軌道壓力為零，則此時速度

從最高點到最低點：

解得

N1=1.92N；

④當釋放處的豎直高度h=0.40m時，到達最高點時對軌道壓力為零，則此時速度

從最高點到圓軌道圓心等高處：

解得

N2=0.96N；

（2）小球在最高點時：

其中N=0.32N

從釋放到圓弧最高點：

解得

Wf=6.4×10-3J