Question

素有“陸地沖浪”之稱的滑板運動已深受廣大青少年喜愛．如圖是由足夠長的斜直軌道，半徑R₁=2m的凹形圓弧軌道和半徑R₂=3.6m的凸形圓形弧軌道三部分組成的模擬滑板組合軌道．這三部軌道依次平滑連接，且處于同一豎直平面內．其中M點為凹形圓弧軌道的最低飯，N為凸形圓弧軌道的最高點，凸形圓弧軌道的圓心O與M點在同一水平面上，一可視為質點的，質量為m=1kg的滑板從斜直軌道卜的P點無初速滑下，經M點滑向N點，P點距水平面的高度h=3.2m．不計一切阻力，g 取10m/s²．求：
（1）滑板滑至M點時的速度多大？
（2）滑板滑至M點時，軌通對滑板的支持力多大？
（3）若滑板滑至N點時對軌道恰好無壓力，則滑板的下滑點P距水平面的高度多大？

Answer 1

分析：（1）對滑板從P到M過程運用機械能守恒定律列式求解；
（2）在M點，小車受到的重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式列式求解；
（3）若滑板滑至N點時對軌道恰好無壓力，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出在N點的速度大小，再運用機械能守恒求解滑板的下滑點P距N點水平面的高度．

解答：解：（1）以地面為參考平面，對滑板從P到M過程運用機械能守恒定律，得到
   mgh=

1

2

m

v

2 M

解得，v_M=8m/s
（2）在M點，由牛頓第二定律得：
  N-mg=m

v 2 M

R1

所以N=42N
（3）若滑板滑至N點時對軌道恰好無壓力，則有mg=m

v 2 N

R2

得v_N=6m/s
對滑板從P到N過程，由機械能守恒定律得
  mgh′=mgR₂+

1

2

m

v

2 N

所以h′=5.4m
答：
（1）滑板滑至M點時的速度是8m/s．
（2）滑板滑至M點時，軌通對滑板的支持力是42N．
（3）若滑板滑至N點時對軌道恰好無壓力，則滑板的下滑點P距水平面的高度是5.4m．

點評：本題是機械能守恒與向心力知識的應用，關鍵要掌握滑板到達N點的臨界條件．