Question

如圖所示，水平絕緣地面上有一底部帶有小孔的絕緣彈性豎直擋板AC，板高h=9cm，與A端等高處有一水平放置的籃筐，圓形筐口的圓心M離擋板的距離L=3m，AC左端及A端與筐口的連線上方存在勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B=1T；現有一質量m=1×10^-3kg、電量q=-1×10^-3C、直徑略小于小孔寬度的帶電小球（視為質點），以某一速度從C端水平射入場中做勻速圓周運動．若球可直接從M點落入筐中，也可與AC相碰后從M點落入筐中，且假設球與AC相碰后以原速率沿碰前速度的反方向彈回彈回，碰撞時間不計，碰撞時電荷量不變，忽略小球運動對電場、磁場的影響．（g=10m/s²，sin53°=0.8），求：
（1）電場強度的大小與方向；
（2）小球運動的最大速率；
（3）若小球與AC碰撞1次后從M點落入筐中，求小球在電場和磁場共存的區域運動的時間（結果中可保留π）．

Answer 1

（1）因小球在復合場中做勻速圓運動，故有 qE=mg
代入數據解得：E=

mg

q

=

1×10-3×10

1×10-3

N/C=10N/C
場強方向豎直向下．
（2）由洛倫茲力提供向心力，有：qvB=m

v2

R

，得：R=

mv

qB

由上可知，R最大時，小球運動的速率最大，如圖所示，利用幾何知識有：
（h-R_m）²+L²=

R

2m

解得：R_m=5m
則最大速率 v_m=

qBRm

m

=

1×10-3×1×5

1×10-3

m/s=5m/s；
（3）因為粒子的速度方向與半徑方向垂直，所以圓心必在AC所在的豎直線上，如圖所示．
有 R≥s=3m
小球與AC碰撞1次，有：（3R-h）²+L²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
周期 T=

2πm

qB

=

2π×1×10-3

1×10-3×1

s=2π s
①當R₁=3m時，小球運動軌跡對應的圓心角 θ=2π+

π

4

=

9π

4

運動時間為 t₁=

θ

2π

T=

9π

4

s
②當R₂=3.75m時，sinα=

L

R2

=

3

3.75

=0.8，α=53°
小球運動對應的圓心角 θ=180°+360°-53°=487°
運動時間為 t₂=

487°

360°

T=

487π

180

s≈2.7πs
答：
（1）電場強度的大小為10N/C，場強方向豎直向下．
（2）小球運動的最大速率為5m/s．
（3）小球在電場和磁場共存的區域運動的時間為

9π

4

s或2.7πs．