Question

如圖所示，真空中直角坐標系XOY，在第一象限內有垂直紙面向外的勻強磁場，在第四象限內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小均為B，在第二象限內有沿x軸正向的勻強電場，第三象限內有一對平行金屬板M、N，兩板間距為d．所加電壓為U，兩板間有垂直紙面向里、磁感應強度為B₀的勻強磁場．一個正離子沿平行于金屬板的軸線射入兩板間并做直線運動，從A點（-L，0）垂直于x軸進入第二象限，從P（0，2L）進入第一象限，然后離子垂直于x軸離開第一象限，不計離子的重力，求：
（1）離子在金屬板間運動速度V₀的大小
（2）離子的比荷

q

m

（3）從離子進入第一象限開始計時，離子穿越x軸的時刻．

Answer 1

（1）離子在板間做直線運動，電場力與洛倫茲力平衡
qE=qv₀B₀
E=

U

d

v0=

U

B0d

（2）離子在第二象限內做類平拋運動，離子在P點時沿y軸方向的分速度為v₀，設沿x方向的分速度為v_x
2L=v₀t
L=

.

v

xt=

1

2

v_xt
解得：v_x=v₀
離子在P點時的速度與y軸正方向成45°角
此時v=

2

v₀
由幾何關系可以確定離子在第一象限的軌道半徑為：
r=2

2

L
根據qvB=m

v2

r

可得

q

m

=

v

Br

=

U

2BB0dL

（3）離子在第一、第二象限內的軌跡如圖所示：


離子的周期T=2π

r

v

=

4πB0dL

U

離子第一次在第一象限內運動的時間t′=

3

8

T=

3πB0dL

2U

離子穿過x軸的時刻為t=n

T

2

+t′=(

n

2

+

3

8

)

4πB0dL

U

n∈（0，1，2，…）
答：（1）離子在金屬板間運動速度為

U

B0d

（2）離子的比荷為

q

m

=

U

2BB0dL

（3）離子穿越x軸的時刻為(

n

2

+

3

8

)

4πB0dL

U

n∈（0，1，2，…）